[论文解读] Being Fat and Friendly is Not Enough

Sariel Har-Peled|ArXiv.org|Aug 17, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 11被引用 25

一句话总结

该论文证明，使用最少数量的瘦长、相似大小的三角形（最小角接近45°）覆盖平面中的点，除非P=NP，否则不存在$(1+\varepsilon)$-近似算法。该结果为这一几何集合覆盖问题确立了APX难性，并可推广至三维空间中三角形的独立集问题，表明在标准复杂性假设下，两类问题均不存在PTAS。

ABSTRACT

We show that there is no $(1+\eps)$-approximation algorithm for the problem of covering points in the plane by minimum number of fat triangles of similar size (with the minimum angle of the triangles being close to 45 degrees). Here, the available triangles are prespecified in advance. Since a constant factor approximation algorithm is known for this problem \cite{cv-iaags-07}, this settles the approximability of this problem. We also investigate some related problems, including cover by friendly fat shapes, and independent set of triangles in three dimensions.

研究动机与目标

• 解决使用胖的、凸的、大小相近的三角形在平面上进行几何集合覆盖的可近似性问题。
• 证明即使在具备胖度、凸性以及有界并集复杂度的条件下，该问题也不存在多项式时间近似方案（PTAS）。
• 将该难解性结果扩展至三维空间中三角形的独立集问题。
• 表明‘友好’的几何集合覆盖实例——其中形状为胖的、凸的，且并集复杂度较低——在常数因子内仍不可近似，除非P=NP。

提出的方法

• 从MaxSNP难解的最小3集合覆盖问题归约至一个具有胖的、凸的、大小相近区域的几何集合覆盖实例。
• 通过中心圆盘与三个点的凸包构造区域，确保两两交集点数不超过6个。
• 使用提升映射$f(x,y) = (x,y,x^2+y^2)$将二维圆映射为三维空间中的平面，保持集合覆盖的等价性。
• 利用矩曲线将3-正则图嵌入三维空间，并通过Voronoi图构造三角形，使其交集关系与图的边一一对应。
• 利用Voronoi图在矩曲线上具有的邻近性（neighborly property），确保三角形的交集恰好对应于图的边。
• 证明图中的独立集与三维空间中互不相交的三角形集合之间存在双射关系，从而将APX难性转移至该问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种$(1+\varepsilon)$-近似算法，用于使用最少数量的胖的、凸的、大小相近的三角形来覆盖平面中的点？
• RQ2 在具有胖度、友好几何特性（凸性、有界并集复杂度、低交集）的条件下，该几何集合覆盖问题是否能在多项式时间内以常数因子近似？
• RQ3 在标准复杂性假设下，三维空间中三角形的独立集问题是否具有PTAS？
• RQ4 是否任何图都可以作为$\mathbb{R}^3$中凸体的交集图实现？这与几何独立集问题的难解性有何关联？

主要发现

• 除非P=NP，否则不存在PTAS来解决使用最少数量的胖的、凸的、大小相近的三角形（最小角趋近于45°）覆盖平面中点的问题。
• 即使在强几何约束下（包括胖度、凸性、常数大小的并集复杂度以及有界点覆盖数），该几何集合覆盖问题仍保持APX难性。
• 三维空间中三角形的独立集问题为APX难，意味着除非P=NP，否则不存在PTAS。
• 即使三角形是单个直角等腰三角形经过旋转和平移后的‘噪声’副本，该难解性依然成立。
• 该结果揭示了一个出人意料的差异：虽然三维空间中填充圆盘或半空间的集合覆盖问题存在PTAS，但其‘壳状’版本（如圆或三角形）却不具备。
• 该构造表明，任何最大度为3的图均可作为$\mathbb{R}^3$中凸体的交集图实现，从而证实了该难解性结果的普遍性。