[论文解读] Being serious about non-commitment: subgame perfect equilibrium in continuous time

Ivar Ekeland, Ali Lazrak|ArXiv.org|Apr 12, 2006

Economic theories and models参考文献 24被引用 158

一句话总结

本文为非恒定贴现下的子博弈完美均衡构建了一个连续时间模型，推导出带有非局部项的修正汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程。研究表明，非恒定贴现会导致拉姆齐增长模型稳态的不确定性，尽管该稳态对恒定贴现的微小偏离仍保持稳健。

ABSTRACT

This paper characterizes differentiable subgame perfect equilibria in a continuous time intertemporal decision optimization problem with non-constant discounting. The equilibrium equation takes two different forms, one of which is reminescent of the classical Hamilton-Jacobi-Bellman equation of optimal control, but with a non-local term. We give a local existence result, and several examples in the consumption saving problem. The analysis is then applied to suggest that non constant discount rates generate an indeterminacy of the steady state in the Ramsey growth model. Despite its indeterminacy, the steady state level is robust to small deviations from constant discount rates.

研究动机与目标

• 表征连续时间跨期优化中非恒定贴现下的可微子博弈完美均衡。
• 解决当贴现率不恒定时动态决策中的时间不一致性问题，特别是在拉姆齐增长模型的背景下。
• 在缺乏承诺机制的情况下，建立子博弈完美均衡存在的条件。
• 分析非恒定贴现对拉姆齐增长模型稳态的影响，特别是关于不确定性的问题。
• 证明稳态对恒定贴现率的微小偏离具有稳健性。

提出的方法

• 推导出带有非局部项的修正汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程，以捕捉非恒定贴现在连续时间中的影响。
• 应用动态规划技术，表征非恒定贴现下的均衡，确保所有时间点的一致性。
• 利用局部存在性结果，在贴现函数满足标准正则性条件时，建立可微子博弈完美均衡的存在性。
• 将均衡条件整合进拉姆齐增长模型，推导出资本边际产出与贴现函数之间的关键方程。
• 采用分部积分与代换技术，推导出决定非恒定贴现下稳态的关键方程（方程39）。
• 通过分析函数φ(x)的性质，表明在凹性假设下，均衡条件导致唯一有效根。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何表征具有非恒定贴现的连续时间动态优化问题中的子博弈完美均衡？
• RQ2 非恒定贴现对拉姆齐增长模型中稳态的存在性与唯一性有何影响？
• RQ3 在无法承诺的条件下，子博弈完美均衡在何种条件下存在？
• RQ4 当贴现非恒定时，拉姆齐模型的稳态如何变化？其对恒定贴现的微小偏离是否稳健？
• RQ5 均衡方程中的非局部项在塑造时间不一致行为方面起什么作用？

主要发现

• 均衡方程的形式类似于经典HJB方程，但因非恒定贴现而包含一个非局部项。
• 非恒定贴现导致拉姆齐增长模型稳态的不确定性，意味着可能存在多个稳态满足均衡条件。
• 尽管存在这种不确定性，稳态水平对恒定贴现率的微小偏离仍保持稳健。
• 在标准贴现函数正则性条件下，建立了可微子博弈完美均衡的局部存在性结果。
• 关键方程（39）将资本的边际产出与贴现函数联系起来，表明稳态取决于贴现函数及其导数的积分。
• 对于具有特定贴现函数的有限horizon情况，解满足超越方程（59），在约束α ≥ f′(k̄)下存在唯一有效解，从而得出方程（42）中所述的边界。