[论文解读] Belief functions induced by random fuzzy sets: A general framework for representing uncertain and fuzzy evidence

Thierry Denœux|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2020

Multi-Criteria Decision Making参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文提出了一种通用框架——认识论随机模糊集，用于表示和组合既不确定又模糊的证据，统一了Dempster-Shafer理论与可能性理论。通过将信任函数建模为由随机模糊集诱导而来，该框架实现了基于似然性（可能性）与贝叶斯（概率性）推理的协调组合，采用广义乘积-交集规则。

ABSTRACT

We revisit Zadeh's notion of "evidence of the second kind" and show that it provides the foundation for a general theory of epistemic random fuzzy sets, which generalizes both the Dempster-Shafer theory of belief functions and possibility theory. In this perspective, Dempster-Shafer theory deals with belief functions generated by random sets, while possibility theory deals with belief functions induced by fuzzy sets. The more general theory allows us to represent and combine evidence that is both uncertain and fuzzy. We demonstrate the application of this formalism to statistical inference, and show that it makes it possible to reconcile the possibilistic interpretation of likelihood with Bayesian inference.

研究动机与目标

• 在统一的形式体系下统一Dempster-Shafer理论与可能性理论，以处理不确定与模糊的证据。
• 通过基于随机模糊集的推广，解决Dempster规则与可能性理论之间的不相容性。
• 为统计推断提供一个原则性基础，调和似然性的可能性解释与贝叶斯更新。
• 将证据的表示从仅清晰集或仅模糊集扩展，同时允许认识论不确定性与模糊性并存。

提出的方法

• 将证据建模为认识论随机模糊集，其中在空间Ω上的随机变量X诱导出变量Y在Θ上的条件可能性分布Π(Y|X=x)。
• 通过从模糊集Y_{x,u_k}中抽取的随机样本，利用蒙特卡洛近似方法定义信任函数与似然函数，对隶属函数执行最小与最大运算。
• 采用基于Choquet积分的定义来推广模糊与随机证据的组合。
• 在随机-模糊集层面对独立证据应用广义乘积-交集规则，同时保持不确定性与模糊性。
• 将似然函数解释为模糊集的隶属函数，从而实现统计证据的可能性表示。
• 证明通过广义框架将似然与先验结合可实现一致的贝叶斯更新，解决了传统基于似然的信任函数中的不一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一框架下统一Dempster-Shafer理论与可能性理论，以表示不确定与模糊的证据？
• RQ2 是否可以在单一形式体系中一致地建模基于似然的证据与贝叶斯先验，同时保持认识论不确定性与模糊性？
• RQ3 随机模糊集在Zadeh提出的第二种证据表示中起什么作用？
• RQ4 广义乘积-交集规则与Dempster规则及可能性理论的合取算子有何异同并如何推广？
• RQ5 将似然函数解释为模糊集如何解决传统基于信任函数的统计推断中的不一致性？

主要发现

• 当x = 28时，基于模拟的信任与似然值约为Bel^{(S)} = 0.143与Pl^{(S)} = 0.253，而基于Choquet的估计值为Bel^{(C)} ≈ 0.128与Pl^{(C)} ≈ 0.236。
• 广义框架通过在随机模糊集层面上操作，实现了证据的协调组合，避免了仅基于清晰集或模糊集导出的信任函数组合时产生的不一致。
• 将似然函数解释为模糊集，可实现与贝叶斯更新一致的统计证据可能性表示。
• 该框架通过将两者嵌入共同的认识论随机模糊集模型中，调和了似然主义与贝叶斯主义的统计推断观点。
• 广义乘积-交集规则保持了同调性与单调性，使其适用于同时具有不确定性和模糊性的证据组合。
• 该方法同时推广了Dempster-Shafer理论（通过随机集）与可能性理论（通过模糊集），二者均为由随机模糊集诱导的信任函数的特例。