[论文解读] Beltrami Representation and its applications to texture map and video compression

Lok Ming Lui, Ka Chun Lam+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Computer Graphics and Visualization Techniques参考文献 40被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的双射曲面同胚压缩方法，通过傅里叶逼近贝尔特拉米表示——一种在三角形面上定义的模小于1的复值函数。利用曲面映射与其贝尔特拉米表示之间的1-1对应关系，并结合一种新型线性贝尔特拉米求解器实现精确重建，该方法将存储量减少高达2/3，同时保持双射性。该方法在纹理映射和视频压缩中实现了显著压缩，对运动矢量场的压缩比最高可达56:1，且质量损失可忽略不计。

ABSTRACT

Surface parameterizations and registrations are important in computer graphics and imaging, where 1-1 correspondences between meshes are computed. In practice, surface maps are usually represented and stored as 3D coordinates each vertex is mapped to, which often requires lots of storage memory. This causes inconvenience in data transmission and data storage. To tackle this problem, we propose an effective algorithm for compressing surface homeomorphisms using Fourier approximation of the Beltrami representation. The Beltrami representation is a complex-valued function defined on triangular faces of the surface mesh with supreme norm strictly less than 1. Under suitable normalization, there is a 1-1 correspondence between the set of surface homeomorphisms and the set of Beltrami representations. Hence, every bijective surface map is associated with a unique Beltrami representation. Conversely, given a Beltrami representation, the corresponding bijective surface map can be exactly reconstructed using the Linear Beltrami Solver introduced in this paper. Using the Beltrami representation, the surface homeomorphism can be easily compressed by Fourier approximation, without distorting the bijectivity of the map. The storage memory can be effectively reduced, which is useful for many practical problems in computer graphics and imaging. In this paper, we proposed to apply the algorithm to texture map compression and video compression. With our proposed algorithm, the storage requirement for the texture properties of a textured surface can be significantly reduced. Our algorithm can further be applied to compressing motion vector fields for video compression, which effectively improve the compression ratio.

研究动机与目标

• 解决在计算机图形学与成像中以3D坐标形式存储双射曲面映射所面临的高存储与带宽需求。
• 开发一种压缩方案，在数据压缩过程中保持曲面同胚的双射（一一对应且满射）性质。
• 通过贝尔特拉米表示实现纹理图与视频中运动矢量场的高效压缩。
• 提出一种线性贝尔特拉米求解器，以实现从贝尔特拉米表示中精确重建曲面映射。
• 展示对贝尔特拉米表示进行傅里叶逼近在实现高倍率压缩的同时不损失双射性的有效性。

提出的方法

• 使用贝尔特拉米表示表示曲面同胚——一种在网格面上定义的复值函数，其上确界范数严格小于1，用于编码局部共形畸变。
• 在适当归一化下，利用曲面同胚与贝尔特拉米表示之间的1-1对应关系，确保重建过程为单射且满射。
• 提出线性贝尔特拉米求解器，通过基于PDE的数值方法，从贝尔特拉米表示中精确重建双射曲面映射。
• 对贝尔特拉米表示应用傅里叶逼近以实现数据压缩，利用其低约束结构（仅要求上确界范数 < 1）以保持双射性。
• 使用压缩后的贝尔特拉米表示重建纹理图与视频中的运动矢量场，替代3D坐标值的直接存储。
• 通过在纹理曲面与视频序列上的实验验证该方法，测量重建数据的PSNR与压缩比。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝尔特拉米表示能否在保持双射性质的前提下压缩双射曲面映射？
• RQ2 对贝尔特拉米表示进行傅里叶逼近能否在不损害映射双射性的情况下实现高倍率压缩？
• RQ3 线性贝尔特拉米求解器在从贝尔特拉米表示重建曲面映射时，其误差最小化程度如何？
• RQ4 基于贝尔特拉米的压缩方法在多大程度上可减少纹理图与视频中运动矢量场的存储量？
• RQ5 压缩后的运动矢量场对整体视频压缩比与视觉质量有何影响？

主要发现

• 所提方法通过贝尔特拉米表示与傅里叶逼近，将曲面同胚的存储量减少高达66%（仅为原始大小的1/3）。
• 线性贝尔特拉米求解器可实现从贝尔特拉米表示中高数值精度地精确重建双射曲面映射。
• 在视频中，运动矢量场可使用0.5%的傅里叶系数实现高达56:1的压缩比，重建P帧的PSNR超过90。
• 即使经过多次循环，重建P帧的PSNR仍接近90，表明运动矢量场中误差累积可忽略不计。
• 当运动矢量场占视频文件大小的1/3时，使用该方法压缩可使总视频存储量减少约32%。
• 原始与压缩后的P帧之间未观察到可见差异，表明在低比特率下仍保持了高视觉保真度。