[论文解读] Benjamini-Schramm convergence and spectrum of random hyperbolic surfaces of high genus

Laura Monk|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 2

一句话总结

该论文在高亏格下建立了随机双曲曲面在Weil-Petersson测度下的Benjamini-Schramm收敛性，使其收敛于双曲平面，并推导出拉普拉斯算子特征值计数函数的精确Weyl型公式。通过Selberg迹公式与谱分析，证明了谱测度收敛于双曲谱测度，并在 genus g → ∞ 时提供了特征值分布与小特征值计数的统一有界性。

ABSTRACT

We study geometric and spectral properties of typical hyperbolic surfaces of high genus, excluding a set of small measure for the Weil-Petersson probability measure. We first prove Benjamini-Schramm convergence to the hyperbolic plane H as the genus g goes to infinity. An estimate for the number of eigenvalues in an interval [a,b] in terms of a, b and g is then proven using the Selberg trace formula. It implies the convergence of spectral measures to the spectral measure of H as g $ ightarrow$+$\infty$, and a uniform Weyl law as b $ ightarrow$+$\infty$. We deduce a bound on the number of small eigenvalues, and the multiplicity of any eigenvalue.

研究动机与目标

• 理解典型紧致双曲曲面在高亏格下的几何与谱行为，排除Weil-Petersson测度下测度较小的集合。
• 在 genus g → ∞ 时，建立随机双曲曲面到双曲平面 H 的Benjamini-Schramm收敛性。
• 以 a, b 和亏格 g 表示，推导出特征值计数函数 N∆X(a,b) 的统一Weyl定律。
• 在高亏格极限下，对小特征值数量与任一特征值的重数进行有界。
• 在Weil-Petersson概率测度下，证明谱测度收敛于 H 的谱测度。

提出的方法

• 在 genus g 双曲曲面的模空间 Mg 上使用Weil-Petersson概率测度，以定义‘典型’曲面。
• 应用Selberg迹公式，将谱计数函数与几何数据（特别是热核的迹）联系起来。
• 采用形如 ht(r) = 1/2√π t ∫_R e^{iur} g_t(u) du 的测试函数，其中 g_t(u) = β sinc(βu) - α sinc(αu) / π exp(-u²/4t²)，且 sinc(x) = sin x / x。
• 利用热核估计与紧致半径控制，推导出迹公式中余项 RK(X,t,a,b) 的估计。
• 通过Theorem 1（Mirzakhani）对紧致半径进行几何控制，以高概率排除具有小紧致半径的曲面。
• 应用谱分解与虚轴上的估计，处理小特征值（λ < 1/4），证明其贡献为 O(1/t)。

实验结果

研究问题

• RQ1 典型随机高亏格双曲曲面的谱是否收敛于双曲平面的谱？
• RQ2 当 genus g → ∞ 时，[a,b] 区间内特征值数量的渐近行为如何？
• RQ3 典型高亏格曲面可能有多少个接近 0 的小特征值？
• RQ4 能否在所有高亏格曲面中建立特征值计数函数的统一Weyl定律？
• RQ5 在高亏格极限下，任一特征值的重数是多少？

主要发现

• Benjamini-Schramm收敛性成立：对于典型随机高亏格双曲曲面，其紧致半径小于 L 的点的比例在 g → ∞ 时趋于零。
• 典型曲面的谱测度在 g → ∞ 时弱收敛于双曲平面 H 的谱测度。
• 统一Weyl定律成立：当 b → ∞ 时，归一化特征值计数函数 N∆X(0,b)/µX(X) = b/4π + O(√b log b / g)。
• 特征值小于 1/4 的数量被限制在 2g−2 以内，且该界是紧致的；典型曲面可达到此界。
• 对于任意 a ≥ 1/2，计数函数满足 N∆X(a,b)/µX(X) = 1/4π ∫_a^b tanh(π√(λ−1/4)) dλ + O(√(b/log g))，并给出显式误差界。
• 第 j 个特征值满足 λj(X) = j/g + O(1 + √(j/g log(2 + j/g)))，且在 g → ∞ 时以高概率成立。