[论文解读] Bennett-type Generalization Bounds: Large-deviation Case and Faster Rate of Convergence

Chao Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques被引用 5

一句话总结

本文为独立同分布学习过程引入了Bennett型泛化界，通过利用一致熵和Rademacher复杂度，推导出比传统O(N^{-1/2})更紧的收敛速率。它建立了更快的收敛速率o(N^{-1/2})，并在经验风险显著偏离期望风险的大偏差情形下表现出更优的性能。

ABSTRACT

In this paper, we present the Bennett-type generalization bounds of the learning process for i.i.d. samples, and then show that the generalization bounds have a faster rate of convergence than the traditional results. In particular, we first develop two types of Bennett-type deviation inequality for the i.i.d. learning process: one provides the generalization bounds based on the uniform entropy number; the other leads to the bounds based on the Rademacher complexity. We then adopt a new method to obtain the alternative expressions of the Bennett-type generalization bounds, which imply that the bounds have a faster rate o(N^{-1/2}) of convergence than the traditional results O(N^{-1/2}). Additionally, we find that the rate of the bounds will become faster in the large-deviation case, which refers to a situation where the empirical risk is far away from (at least not close to) the expected risk. Finally, we analyze the asymptotical convergence of the learning process and compare our analysis with the existing results.

研究动机与目标

• 使用Bennett型偏差不等式，为独立同分布样本的监督学习开发更紧的泛化界。
• 改进经典泛化界的标准O(N^{-1/2})收敛速率。
• 分析在经验风险与期望风险显著偏离的大偏差情形下，泛化界的行为。
• 通过一致熵和Rademacher复杂度，建立界的新表达形式，以提升理论分析能力。
• 比较所提界与现有理论结果在渐近收敛行为上的差异。

提出的方法

• 为独立同分布学习过程推导出两种Bennett型偏差不等式：一种基于一致熵数，另一种基于Rademacher复杂度。
• 采用一种新颖的分析方法，推导出泛化界的替代表达式，从而实现更紧的速率分析。
• 引入大偏差情形下的分析，即当经验风险远离期望风险时，展示更优的收敛行为。
• 使用具有次高斯和次Weibull尾部假设的集中不等式，建模经验风险与期望风险之间的偏差。
• 运用一致收敛论证，以复杂度度量（一致熵和Rademacher复杂度）界定泛化误差。
• 在样本量N不断增加的条件下，分析界在渐近行为下的表现，表明其收敛至零的速度快于经典结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 与经典方法相比，Bennett型偏差不等式能否为独立同分布学习过程提供更紧的泛化界？
• RQ2 所提泛化界的收敛速率是多少？是否超过标准的O(N^{-1/2})速率？
• RQ3 在经验风险显著偏离期望风险的大偏差情形下，泛化界的行为如何？
• RQ4 所提的界能否以一致熵和Rademacher复杂度的形式表达，并具备更优的理论性质？
• RQ5 与现有理论框架相比，新界下的学习过程渐近收敛行为有何差异？

主要发现

• 所提的Bennett型泛化界实现了o(N^{-1/2})的收敛速率，快于经典的O(N^{-1/2})速率。
• 在大偏差情形下——即经验风险与期望风险显著偏离时——界值的收敛速率进一步加快。
• 基于一致熵数和Rademacher复杂度推导出的界，相较于标准结果均表现出更优的收敛行为。
• 通过新方法推导出的界之替代表达式，明确揭示了更快的收敛速率。
• 渐近分析证实，在所提界下，学习过程收敛至零的速度快于经典泛化误差框架下的结果。
• 结果表明，基于复杂度的界（通过一致熵和Rademacher复杂度）在典型情形和大偏差情形下均能有效捕捉更快的收敛速度。