[论文解读] Bent functions generalizing Dillon's partial spread functions

William M. Kantor|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文通过利用有限群中子群的划分的群论构造，推广了Dillon的部分展开弯函数，通过基本的计数论证而非指数和，证明了此类函数为弯函数。关键贡献在于提出了一个广泛的弯函数类，可在非交换群中生成大量相对差集，并给出了此类非等价构造的显式下界。

ABSTRACT

This note presents generalizations of the partial spread bent functions introduced by Dillon, as well as the corresponding relative difference sets in nonabelian groups.

研究动机与目标

• 通过群论结构和子群划分，推广Dillon的部分展开弯函数。
• 通过基本计数构造非交换群中的弯函数，避免依赖指数和。
• 证明此类弯函数可在非交换群中生成相对差集。
• 建立由该构造产生的成对非等价相对差集数量的下界。

提出的方法

• 通过群 $ G $ 的阶为 $ (qN)^2 $ 的子群集合 $ \Sigma $（每个子群阶为 $ qN $）的划分来定义弯函数 $ f: G \to H $，其中 $ \Sigma $ 包含 $ (q-1)N $ 个子群，且两两交集为平凡。
• 将 $ \Sigma $ 划分为 $ q-1 $ 个大小为 $ N $ 的子集 $ \Sigma_i $，定义 $ D_i = \bigcup \Sigma_i \setminus \{1\} $，且 $ D_1 = G \setminus \bigcup_{i \neq 1} D_i $，然后设定 $ f(D_i) = i $ 对所有 $ i \in H $。
• 通过组合计数证明 $ f $ 是弯函数：对任意 $ z \neq 1 $ 在 $ G $ 中及 $ b \in H $，方程 $ f(xz)f(x)^{-1} = b $ 恰好有 $ qN^2 $ 个解，利用交集 $ (D_c z^{-1}) \cap D_d $ 的计数，其中 $ cd^{-1} = b $。
• 利用划分结构和子群交集性质，计算交集大小 $ |(D_i z^{-1}) \cap D_j| $，根据 $ z $ 是否属于 $ \Sigma_k $ 中的子群区分不同情形。
• 证明函数 $ f $ 的弯性不依赖于 $ H $ 的群结构，即使 $ H $ 是非交换群，只要 $ |H| = q $ 即可。
• 在定理 3.3 中提供另一种证明，基于预拟域和傅里叶分析的指数和，表明对所有 $ k \in K^* $，$ u \in V $，有 $ |\hat{f}_k(u)| = |V|^{1/2} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过群论子群划分，将Dillon的部分展开弯函数推广到非阿贝尔群？
• RQ2 群 $ G $ 和子群集合 $ \Sigma $ 需满足何种条件，才能保证通过划分 $ \Sigma $ 定义的函数 $ f: G \to H $ 为弯函数？
• RQ3 从此类弯函数可在非交换群中构造出多少个非等价的相对差集？
• RQ4 相同的划分结构是否可对同阶但不同构的群 $ H $ 产生弯函数？
• RQ5 该构造可获得的成对非等价弯函数或相对差集的渐近数量是多少？

主要发现

• 该构造对任意阶为 $ q $ 的群 $ H $（即使 $ H $ 为非阿贝尔群）均可生成弯函数 $ f: G \to H $，仅依赖于子群划分与计数。
• 当 $ G $ 为阶为 $ p^{2m} $ 的初等阿贝尔 $ p $-群，且 $ H $ 为任意阶为 $ p^s $ 的群时，在 $ G \times H $ 中存在超过 $ p^{p^{m-1} - 9m^2} $ 个成对非等价的 $ (p^{2m}, p^s, p^{2m}, p^{2m-s}) $-相对差集。
• 此类非等价相对差集的数量超过 $ p^{p^{m-1}} $，该下界源于德扎尔戈斯构型中可能的子集 $ \Sigma $ 的数量。
• 通过定理 2.2 的构造避免了指数和，仅依赖于子群交集的组合计数。
• 定理 3.3 中的替代证明使用傅里叶分析和预拟域的性质，表明对所有 $ k \in K^* $，$ u \in V $，有 $ |\hat{f}_k(u)| = |F| $，通过傅里叶定义确认了弯性。
• 即使 $ H $ 不同构，相同的 $ \Sigma $ 划分仍可产生不同的弯函数，表明其结构独立于 $ H $ 的群类型。