[论文解读] Berestycki-Lions conditions on ground state solutions for a Nonlinear Schrödinger equation with variable potentials

Xianhua Tang, Sitong Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在 Berestycki-Lions 条件下，通过引入新颖的变分技巧并克服缺乏径向对称性的问题，证明了在变系数势下非线性薛定谔方程存在基态解与最小能量解。作者在近乎必要条件下建立了此类解的存在性，推广了先前结果，并将适用范围扩展至非径向及变号情形。

ABSTRACT

This paper is dedicated to studying the nonlinear Schrödinger equations of the form \begin{equation*}\label{KE} \left\{ \begin{array}{ll} - riangle u+V(x)u=f(u), & x\in \R^N; u\in H^1(\R^N), \end{array} ight. \end{equation*} where $V\in \mathcal{C}^1(\R^N, [0, \infty))$ satisfies some weak assumptions, and $f\in \mathcal{C}(\R, \R)$ satisfies the general Berestycki-Lions assumptions. By introducing some new tricks, we prove that the above problem admits a ground state solution of Pohouzaev type and a least energy solution. These results generalize and improve some ones in [L. Jeanjean, K. Tanka,Indiana Univ. Math. J. 54 (2005), 443-464], [L. Jeanjean, K. Tanka, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003) 2399-2408], [H. Berestycki, P.L. Lions, Arch. Rational Mech. Anal. 82 (1983) 313-345] and some other related literature. In particular, our assumptions are "almost" necessary when $V(x)\equiv V_{\infty}>0$, moreover, our approach could be useful for the study of other problems where radial symmetry of bounded sequence either fails or is not readily available, or where the ground state solutions of the problem at infinity are not sign definite.

研究动机与目标

• 为具有变系数势的非线性薛定谔方程建立 Pohozëv 型基态解的存在性。
• 在不依赖径向对称性的前提下，证明在一般 Berestycki-Lions 条件下最小能量解的存在性。
• 当势函数在无穷远处趋近于正常数时，表明对势函数与非线性项的假设是‘几乎’必要的。
• 发展一种适用于有界序列缺乏径向对称性或无穷远处基态非符号确定的问题的方法。

提出的方法

• 引入依赖参数的泛函 $ I_\lambda(u) $ 以逼近原问题并恢复紧致性。
• 使用修正的 Pohozëv 型恒等式 $ \mathcal{P}_\lambda(u) = 0 $ 作为约束，以表征基态解。
• 应用集中紧致性原理及单调性技巧的新变体，处理紧致性缺失的问题。
• 通过 $ \lambda \to 1 $ 的极限论证，将近似问题的解过渡到原问题。
• 在 $ V(x) \equiv V_\infty $ 的极限情形下，利用 Pólya-Szegö 不等式与对称化技巧，验证径向结构。
• 通过引入涉及 $ \nabla V(x) \cdot x $ 的新估计，建立 Palais-Smale 序列的有界性，确保收敛至非零解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有变系数势的非线性薛定谔方程会存在 Pohozëv 型基态解？
• RQ2 当缺乏径向对称性时，非自治情形下 Berestycki-Lions 条件能否被放宽或推广？
• RQ3 在与自治情形下解的存在性条件相同的情况下，最小能量解的存在性是否仍能保证？
• RQ4 在标准对称化方法失效的非径向、非自治情形下，如何恢复紧致性？
• RQ5 对 $ f $ 与 $ V $ 的假设是否‘几乎’是存在非零解的必要条件？

主要发现

• 在 Berestycki-Lions 条件下，即使不具径向对称性，该问题仍存在 Pohozëv 型基态解。
• 最小能量解存在，并满足 $ I(\bar{u}) = \inf_{\mathcal{K}} I(u) $，其中 $ \mathcal{K} $ 为非零临界点的集合。
• 当 $ V(x) \equiv V_\infty > 0 $ 时，对 $ f $ 的假设是‘几乎’必要的，证实了条件的最优性。
• 最小能量解的能量满足 $ I(\bar{u}) < m_1^\infty $，表明其严格低于自治情形下的基态能量。
• 该方法成功处理了无穷远处基态非符号确定或径向对称性不成立的情形。
• 作者证明了对 $ \lambda \in (\bar{\lambda}, 1] $，有 $ c_\lambda < m_\lambda^\infty $，这对排除集中紧致性分析中的非平凡消失现象至关重要。