[论文解读] Bergman kernels and equilibrium measures for line bundles over projective manifolds

Robert J. Berman|ArXiv.org|Oct 24, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 2被引用 7

一句话总结

该论文在大 $k$ 极限下建立了全纯线丛在射影流形上时的Bergman核、平衡测度与曲率测度之间的渐近等价性。证明了所有三种测度收敛于 $1_D (dd^c\theta)^n/n!$，其中 $D = \{\phi_e = \phi\}$，并表明 $\phi_e$ 在增广基点集之外为 $\mathcal{C}^{1,1}$，将经典结果推广至非充分线丛与奇异度量的情形。

ABSTRACT

Let L be a holomorphic line bundle over a compact complex projective Hermitian manifold X. Any fixed smooth hermitian metric h on L induces a Hilbert space structure on the space of global holomorphic sections with values in the k th tensor power of L. In this paper various convergence results are obtained for the corresponding Bergman kernels (i.e. orthogonal projection kernels). The convergence is studied in the large k limit and is expressed in terms of the equilibrium metric h_e associated to h, as well as in terms of the Monge-Ampere measure of h on a certain support set. It is also shown that the equilibrium metric h_e is in the class C^{1,1} on the complement of the augmented base locus of L. For L ample these results give generalizations of well-known results concerning the case when the curvature of h is globally positive (then h_e=h). In general, the results can be seen as local metrized versions of Fujita's approximation theorem for the volume of L.

研究动机与目标

• 将经典Bergman核渐近理论从充分且曲率为正的情形推广至任意光滑Hermitian度量下的全纯线丛。
• 以平衡度量 $\phi_e$ 和集合 $D = \{\phi_e = \phi\}$ 描述Bergman函数与体积形式的极限行为。
• 证明平衡度量 $\phi_e$ 在 $L$ 的增广基点集的补集上为 $\mathcal{C}^{1,1}$，即使 $L$ 不是充分的。
• 通过测度收敛性，提供Fujita逼近定理在体积上的局部度量版本。

提出的方法

• 利用全局拟势论，将平衡度量 $\phi_e$ 定义为所有满足 $\widetilde{\phi} \leq \phi$ 且曲率为正的度量上包络。
• 构造三种关键测度：平衡测度 $\mu_\phi = (dd^c\phi_e)^n/n!$，归一化Bergman测度 $k^{-n} B_k \omega_n$，以及第 $k$ 个Bergman体积形式 $(dd^c(k^{-1}\log K_k(x,x)))^n/n!$。
• 使用局部全纯Morse理论与加权 $L^2$ 估计分析Bergman核 $K_k(x,y)$ 及其在 $k \to \infty$ 时的渐近行为。
• 证明在对数坐标下，Bergman函数 $B_k(x) = K_k(x,x)e^{-k\phi}$ 收敛于 $1_D(x) \cdot \left(\frac{2}{\pi}\right)^n \frac{\det(\partial^2\phi / \partial v_i \partial v_j)}{\det(\partial^2\phi_\Delta / \partial v_i \partial v_j)}$。
• 应用凸包理论表明，在Toric情形下，$\phi_e$ 是 $\phi$ 的凸包，并由此导出显式渐近展开。
• 通过在奇点处将测度设为零，扩展收敛结果，使其适用于非充分与大线丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有任意光滑Hermitian度量的一般线丛，Bergman核渐近行为如何，尤其当曲率非全局正时？
• RQ2 在大 $k$ 极限下，Bergman函数与第 $k$ 个Bergman体积形式的精确极限测度是什么？
• RQ3 平衡度量 $\phi_e$ 与原始度量 $\phi$ 有何关系？其具有何种正则性性质？
• RQ4 Bergman测度的收敛性能否用集合 $D = \{\phi_e = \phi\}$ 表达？这与 $\phi$ 的Monge-Ampère测度有何关联？
• RQ5 增广基点集在 $\phi_e$ 的奇点与 $B_k$ 的渐近行为中起何种作用？

主要发现

• 归一化Bergman测度 $k^{-n} B_k \omega_n$ 弱收敛于 $1_D (dd^c\phi)^n/n!$，其中 $D = \{\phi_e = \phi\}$，当 $k \to \infty$ 时。
• 第 $k$ 个Bergman体积形式 $(dd^c(k^{-1}\log K_k(x,x)))^n/n!$ 在大 $k$ 极限下也弱收敛于 $1_D (dd^c\phi)^n/n!$。
• 平衡度量 $\phi_e$ 在 $X \setminus \mathbb{B}_+(L)$ 上为 $\mathcal{C}^{1,1}$，即使 $L$ 不是充分的。
• 在Toric情形下，平衡度量 $\phi_e$ 是对数坐标下 $\phi$ 的凸包，且Bergman函数渐近行为由缩放多面体中的格点之和显式给出。
• 在 $D$ 的补集上，$B_k$ 的指数衰减率由 $\sup_X (\phi_e - \phi)$ 决定，且 $\lim_{k\to\infty} \inf_X B_k^{1/k} = e^{-\sup_X (\phi_e - \phi)}$，这与切比雪夫常数及亚历山大容量相关。
• 对于大但非充分的线丛（如 $\mathbb{P}^2$ 的Blow-up 上的 $L = \pi^*\mathcal{O}(1) \otimes [E]$），有 $\phi_e \equiv -\infty$ 在 $\mathbb{B}_+(L)$ 上，表明 $\phi_e$ 可能在整个增广基点集上为奇异。