[论文解读] Bergman kernels for weighted polynomials and weighted equilibrium measures of C^n

Robert J. Berman|ArXiv.org|Feb 13, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 18

一句话总结

该论文研究了在 ℂⁿ 上具有 𝒞¹,¹ 权函数 𝜙 的加权多项式时 Bergman 核的渐近行为，证明了归一化后的 Bergman 函数弱收敛于一个紧支集 D 上的加权平衡测度。关键结果是：在 k→∞ 的极限下，三种自然测度——Bergman 函数、Bergman 核密度以及平衡势的 Monge-Ampère 测度——均与测度 1_D (ddᶜ𝜙)^n / n! 重合，将已知的 n=1 情形推广至高维，并与随机矩阵理论和随机多项式建立联系。

ABSTRACT

Various convergence results for the Bergman kernel of the Hilbert space of all polynomials in \C^{n} of total degree at most k, equipped with a weighted norm, are obtained. The weight function is assumed to be C^{1,1}, i.e. it is differentiable and all of its first partial derivatives are locally Lipshitz continuous. The convergence is studied in the large k limit and is expressed in terms of the global equilibrium potential associated to the weight function, as well as in terms of the Monge-Ampere measure of the weight function itself on a certain set. A setting of polynomials associated to a given Newton polytope, scaled by k, is also considered. These results apply directly to the study of the distribution of zeroes of random polynomials and of the eigenvalues of random normal matrices.

研究动机与目标

• 分析 ℂⁿ 中具有 𝒞¹,¹ 权函数的加权多项式 Bergman 核在 k→∞ 时的渐近行为。
• 确定归一化 Bergman 函数 k⁻ⁿBₖ(𝑧)𝜔ₙ 在 k→∞ 时的极限测度。
• 在紧集 D 上统一三种自然测度——Bergman 函数、Bergman 核密度与 Monge-Ampère 测度——并证明其收敛于同一平衡测度。
• 将已知的 n=1 情形结果推广至高维，尤其关注随机矩阵特征值与随机多项式零点分布的收敛性。
• 建立 Bergman 核在 k 的幂级数下的局部渐近展开，其形式与光滑正曲率情形下的 Tian-Zelditch-Catlin 展开一致。

提出的方法

• 使用加权希尔伯特空间 ℋₖ，即总次数 ≤k 的多项式空间，赋予范数 ||𝑓ₖ||²ₖᵠ := ∫|𝑓ₖ(𝑧)|²e⁻ᵏᶲ d𝜔ₙ。
• 定义 Bergman 核 Kₖ(𝑧,𝑤) 与 Bergman 函数 Bₖ(𝑧) := Kₖ(𝑧,𝑧)e⁻ᵏᶲ。
• 引入加权平衡势 𝜙ₑ 为所有被 𝜙 控制的次调和函数的上包络。
• 应用 Monge-Ampère 测度 (ddᶜ𝜙ₑ)ⁿ/n!，并将其识别为极限测度 1_D (ddᶜ𝜙)^n / n!。
• 利用复环面作用 𝑧 ↦ eʰ𝑧，将 ℝⁿ 中的正则性与比较结果推广至 ℂ*ⁿ。
• 通过体积估计与 Newton 多面体的格点计数，证明在 ℂ*ⁿ 上 k⁻ⁿBₖ 依 L¹ 范数收敛于 1_D det(ddᶜ𝜙)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 ℂⁿ 中具有 𝒞¹,¹ 权函数的加权多项式，Bergman 函数 Bₖ(𝑧) 在 k→∞ 时的行为如何？
• RQ2 当 k→∞ 时，测度 k⁻ⁿBₖ(𝑧)𝜔ₙ 的弱极限是什么？它与权函数曲率有何关系？
• RQ3 Bergman 核及其相关测度的收敛性是否可从 n=1 推广至高维？在何种正则性假设下成立？
• RQ4 随机正规矩阵的特征值分布与随机多项式的零点集在 ℂⁿ 中在多大程度上收敛于同一平衡测度？
• RQ5 Bergman 核在何种条件下可展开为 k 的幂级数的完整局部渐近展开？其与 Tian-Zelditch-Catlin 展开的关系如何？

主要发现

• 当 k→∞ 时，归一化 Bergman 函数 k⁻ⁿBₖ(𝑧) 在 ℂⁿ 上弱收敛于测度 1_D (ddᶜ𝜙)^n / n!，其中 D 是由权函数定义的紧集。
• 三种测度——k⁻ⁿBₖ(𝑧)𝜔ₙ、(ddᶜ(k⁻¹ln Kₖ(𝑧,𝑧)))ⁿ/n! 与 (ddᶜ𝜙ₑ)^n/n!——均弱收敛于同一平衡测度 1_D (ddᶜ𝜙)^n / n!。
• 在 D 的内部光滑点处，若 ddᶜ𝜙 > 0，则 Bergman 核 Kₖ(𝑧,𝑤) 允许完整的局部渐近展开（按 k 的幂级数），其形式与 Tian-Zelditch-Catlin 展开一致。
• 在 ℂⁿ×ℂⁿ 上，k⁻ⁿ|Kₖ(𝑧,𝑤)|²e⁻ᵏᶲ(𝑧)e⁻ᵏᶲ(𝑤)𝜔ₙ(𝑧)∧𝜔ₙ(𝑤) 的全局弱极限为 1_D Δ ∧ (ddᶜ𝜙)^n / n!，其中 Δ 为对角当前。
• 对于与 Newton 多面体 kΔ 关联的加权多项式，归一化 Bergman 函数在 L¹ 意义下收敛于 1_{D_Δ ∩ ℂ*ⁿ} det(ddᶜ𝜙)，且弱收敛于平衡测度 (ddᶜ𝜙_Δ,ₑ)^n / n!。
• Newton 多面体 Δ 的内部体积为 dim ℋₖΔ 提供下界，即 dim ℋₖΔ ≥ Vol(Δ̇)kⁿ + o(kⁿ)，且在渐近极限下等号成立。