[论文解读] Bernoulli actions and infinite entropy

David Kerr, Hanfeng Li|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 4被引用 3

一句话总结

该论文证明，对于可数的索菲克群，若伯努利作用的基熵为无限，则其关于任意索菲克逼近序列的索菲克测度熵亦为无限。通过动力系统的拓扑表示与熵下界估计，作者证明此类伯努利作用的熵等于基熵，且与逼近序列无关，从而解决了鲍文提出的问题，并将经典熵理论扩展至非平庸及非奥恩斯坦的索菲克群。

ABSTRACT

We show that, for countable sofic groups, a Bernoulli action with infinite entropy base has infinite entropy with respect to every sofic approximation sequence. This builds on the work of Lewis Bowen in the case of finite entropy base and completes the computation of measure entropy for Bernoulli actions over countable sofic groups. One consequence is that such a Bernoulli action fails to have a generating countable partition with finite entropy if the base has infinite entropy, which in the amenable case is well known and in the case that the acting group contains the free group on two generators was established by Bowen using a different argument.

研究动机与目标

• 解决刘易斯·鲍文提出的问题：关于可数索菲克群上伯努利作用的索菲克测度熵在基熵为无限时的行为。
• 将伯努利作用的熵分类从可约群及含F₂的群扩展至所有可数索菲克群。
• 证明此类作用不具有有限熵的生成可测划分，推广了在可约群及含F₂群情形下的已知结果。
• 通过证明熵恒等于基熵，完成对所有可数索菲克群上伯努利作用的索菲克测度熵的计算。

提出的方法

• 使用紧致度量空间上的连续作用及到C*(d)的单位元*-同态，将动力系统表示在拓扑框架中。
• 通过C(X)中的有限单位分解定义同态上的伪度量，从而利用拓扑熵技术逼近度量熵。
• 利用斯特林公式与熵界估计，估算从L∞(X,μ)到C^d的近似等变、近似保测映射的数量。
• 利用组合熵估计与熵函数ξ(t) = -t log t的一致连续性，建立此类同态空间中ε-分离集的指数增长速率的下界。
• 在无限熵情形下应用鲍文有限熵下界论证的变体，利用索菲克逼近的结构与测度集中性。
• 将下界估计与已知的有限熵情形结合，证明当基熵为无限时，对所有逼近序列，索菲克测度熵亦为无限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可数索菲克群上，若伯努利作用的基熵为无限，则其关于任意索菲克逼近序列的索菲克测度熵是否也为无限？
• RQ2 可数索菲克群上伯努利作用的熵是否可统一计算为基熵，而与逼近序列无关？
• RQ3 当基熵为无限时，伯努利作用是否不具有有限熵的生成可测划分？该结论是否对所有可数索菲克群成立，而不仅限于可约群或含F₂的群？
• RQ4 当基熵为无限时，可数索菲克群上伯努利作用的共轭类是否仅由基熵决定？

主要发现

• 对任意可数索菲克群G及索菲克逼近序列Σ，若基为(X,μ)，则伯努利作用的索菲克测度熵等于H(μ)，即基熵，无论H(μ)为有限或无限。
• 当H(μ) = +∞时，对任意索菲克逼近序列Σ，索菲克测度熵hΣ,μ^G(X^G, G)亦为+∞。
• 当H(μ) = +∞时，不存在X^G的生成可数可测划分Q，使得H_μ^G(Q) < ∞，该结果推广了在可约群及含F₂群情形下的已知结论。
• 该结果完成了对可数索菲克群上伯努利作用熵分类的计算，表明共轭的伯努利作用必须具有相同的基熵。
• 证明表明，无限熵在所有索菲克逼近下均被保持，其依据为基于斯特林公式与测度集中性的拓扑与组合熵估计。
• 该工作解决了威斯的问题，并将鲍文早期结果推广至所有可数索菲克群，包括非可约群、含挠群且不含F₂的群。