[论文解读] Bernoulli Percolation on random Tessellations

Sebastian Ziesche|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文将伯努利渗滤从规则格点推广到 ℝᵈ 中的随机剖分，通过适配的 Burton-Keane 论证，在弱平稳性和矩条件之下建立了无限簇的唯一性。通过引入基于混合性和细胞尺寸统计的两个灵活框架，本文证明了广泛类别的随机剖分（包括确定性点过程和吉布斯点过程生成的剖分）存在非平凡相变。

ABSTRACT

We generalize the standard site percolation model on the $d$-dimensional lattice to a model on random tessellations of $\mathbb R^d$. We prove the uniqueness of the infinite cluster by adapting the Burton-Keane argument \cite{burton1989density}, develop two frameworks that imply the non-triviality of the phase transition and show that large classes of random tessellations fit into one of these frameworks. Our focus is on a very general approach that goes well beyond the typical Poisson driven models. The most interesting examples might be Voronoi tessellations induced by determinantal processes or certain classes of Gibbs processes introduced in \cite{schreiber2013}. In a second paper we will investigate first passage percolation on random tessellations.

研究动机与目标

• 将伯努利位点渗滤从规则格点推广至 ℝᵈ 中的随机剖分，且对对称性假设要求最小。
• 在仅依赖于平稳性和有限细胞矩界等弱条件下，建立该推广模型中无限簇的唯一性。
• 提出两个通用框架，以保证随机剖分中出现非平凡相变。
• 证明多种点过程（如确定性过程和吉布斯过程）生成的剖分满足这些框架。
• 提供一个基础性、广泛适用的理论，超越泊松驱动模型，为未来研究此类剖分上的首达渗滤奠定基础。

提出的方法

• 将 Burton-Keane 论证适配于随机剖分，仅基于平稳性和细胞尺寸的有限二阶矩条件，证明无限簇的唯一性。
• 引入基于混合条件的框架，以确保非平凡相变，推广了独立同分布或平移不变模型的结果。
• 提出第二个框架，利用辅助随机场追踪极小或极大细胞的出现频率，当尾部行为合适时，可保证非平凡性。
• 将这些框架应用于证明由确定性、考克斯和泊松簇过程生成的 Voronoi 剖分存在非平凡相变。
• 利用底层点过程的空概率界来验证细胞尺寸框架条件 (T2)，特别是对 ν-弱次泊松过程。
• 对具有大或小邻域的细胞数量使用类似 Borel-Cantelli 的估计，以控制罕见构型的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，随机剖分中伯努利面渗滤的无限簇保持唯一？
• RQ2 能否保证在泊松驱动模型之外的广泛类随机剖分中，相变具有非平凡性（即 0 < p_c < 1）？
• RQ3 由确定性或吉布斯点过程诱导的 Voronoi 剖分在伯努利渗滤中是否表现出非平凡相变？
• RQ4 如何将 Burton-Keane 论证适配于由随机剖分产生的非平移不变随机图结构？
• RQ5 生成点过程需满足何种条件，才能使诱导出的剖分满足所提框架中非平凡相变的标准？

主要发现

• 在仅依赖于平稳性和细胞尺寸有限二阶矩的条件下，随机剖分上伯努利渗滤的无限簇唯一，将 Burton-Keane 结果推广至非格点设置。
• 在平面情形下，临界概率满足 p_c ≥ 1/2，作为唯一性结果的推论，通过 Zhang 的论证得出。
• 剖分的混合性条件可推出非平凡相变，但反例表明混合性本身在一般情况下不足以保证。
• 基于追踪极端细胞尺寸的辅助随机场的框架，当底层点过程具有足够小的空概率时，可确保非平凡相变。
• 由 ν-弱次泊松点过程（包括确定性过程）生成的 Voronoi 剖分满足细胞尺寸框架条件 (T2)，从而保证非平凡相变。
• 泊松簇过程和考克斯过程也满足所需的空概率界，确认其与非平凡相变框架兼容。