[论文解读] Bernstein approximation of optimal control problems

Venanzio Cichella, Isaac Kaminer+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文提出一种基于伯恩斯坦多项式逼近的直接最优控制方法，将带有混合状态与控制约束的非线性最优控制问题转化为非线性规划问题（NLP）。该方法建立了NLP解收敛于真实最优控制解的理论，并推导出协态估计的协向量映射定理，从而实现无需积分伴随方程即可准确计算伴随变量的数值解。

ABSTRACT

Bernstein polynomial approximation to a continuous function has a slower rate of convergence as compared to other approximation methods. "The fact seems to have precluded any numerical application of Bernstein polynomials from having been made. Perhaps they will find application when the properties of the approximant in the large are of more importance than the closeness of the approximation." -- has remarked P.J. Davis in his 1963 book Interpolation and Approximation. This paper presents a direct approximation method for nonlinear optimal control problems with mixed input and state constraints based on Bernstein polynomial approximation. We provide a rigorous analysis showing that the proposed method yields consistent approximations of time continuous optimal control problems. Furthermore, we demonstrate that the proposed method can also be used for costate estimation of the optimal control problems. This latter result leads to the formulation of the Covector Mapping Theorem for Bernstein polynomial approximation. Finally, we explore the numerical and geometric properties of Bernstein polynomials, and illustrate the advantages of the proposed approximation method through several numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解带有混合状态与控制约束的非线性最优控制问题的直接数值方法。
• 解决伪谱方法的局限性，特别是离散化节点之间出现的约束违反问题以及非光滑问题中的吉布斯现象。
• 提供一个理论一致的逼近框架，具备一致收敛性和有利的几何性质。
• 通过针对伯恩斯坦逼近提出的新协向量映射定理，实现在最优控制问题中对协态的精确估计。
• 在具有不连续控制及严格时空约束的问题上，验证该方法的鲁棒性。

提出的方法

• 使用伯恩斯坦多项式基函数对状态和控制进行参数化，将连续时间最优控制问题转录为NLP问题。
• 在高斯-勒让德点上采用配点法，以在NLP公式中强制执行动力学方程与约束条件。
• 利用伯恩斯坦逼近及其导数的一致收敛性，确保解的一致性。
• 推导出协向量映射定理，将NLP的KKT乘子与原始最优控制问题的协态联系起来。
• 应用连续模与利普希茨分析，对NLP公式中的逼近误差进行界约束。
• 通过涉及多架飞行器任务的数值算例验证该方法，其任务包含时空分离约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 伯恩斯坦多项式逼近能否为带有混合约束的非线性最优控制问题提供一致且收敛的转录？
• RQ2 所提出的方法是否能确保在整个时间区间内满足约束条件，即使在配点之间也成立？
• RQ3 NLP的Karush-Kuhn-Tucker乘子能否用于估计原始最优控制问题的协态？
• RQ4 与伪谱方法相比，该方法在非光滑最优控制问题（如bang-bang控制）上的表现如何？
• RQ5 伯恩斯坦逼近的哪些几何与数值特性使其在最优控制应用中具有优势？

主要发现

• 随着多项式阶数的增加，NLP解一致收敛于真实最优控制解，误差界与$ N^{-1/2} $成正比。
• 该方法确保在整个时间区间内满足约束条件，避免了伪谱方法中常见的节点间约束违反问题。
• 协向量映射定理被严格推导，使得能够从NLP的KKT乘子中准确估计协态。
• 伯恩斯坦逼近避免了吉布斯现象，在状态或控制轨迹的不连续点附近仍能保持精度。
• 数值结果表明，该方法成功生成了满足时空分离约束的多架飞行器任务轨迹。
• 该方法在bang-bang控制问题上表现出鲁棒性能，而伪谱方法则因振荡和精度下降而表现不佳。