[论文解读] Bertini theorems for hypersurface sections containing a subscheme over finite fields

Franziska Wutz|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文建立了有限域上关于包含给定闭子概形的光滑超平面截面的Bertini定理的类比，证明在维数条件满足时，此类超平面截面的存在密度为正。该工作通过在有限子概形处引入局部条件，扩展了Poonen的工作，并表明当嵌入维数与交集维数满足临界不等式时，密度非零，且给出了涉及zeta函数的显式公式。

ABSTRACT

We show the existence of a hypersurface that contains a given closed subscheme of a projective space over a finite field and intersects a smooth quasi-projective scheme smoothly, under some condition on the dimension. This generalizes a Bertini theorem by Poonen and is the finite field analogue of a Bertini theorem by Altman and Kleiman. Furthermore, we add the possibility of modifying finitely many local conditions of the hypersurface. We show that the condition on the dimension is fulfilled for schemes with simple normal crossings and give an application to embeddings into smooth schemes.

研究动机与目标

• 将Poonen在有限域上的Bertini定理推广，以包含固定闭子概形Z的光滑超平面截面的存在性。
• 在有限子概形Y处引入有限个预设的局部条件，扩展几何筛法。
• 为满足此类超平面截面的集合建立精确的密度公式，通过交集概形的zeta函数表达。
• 证明当交集V = Z ∩ X具有简单法向交线时，密度公式中的维数条件成立。
• 将结果应用于有限域上概形到光滑概形的嵌入。

提出的方法

• 本文采用适配于有限域的几何闭点筛法，对Poonen的方法进行修改，以处理子概形与局部条件。
• 通过在趋于无穷的次数上取比值的极限，定义相对于在Z上消失的齐次多项式空间的密度测度μ_Z(𝒫)。
• 关键构造涉及通过随机表示f = f₀ + Σ g_i^p t_i 从I_d中选取多项式f，以确保在I_d上均匀分布。
• 证明通过关于高阶偏导数为零的个数的归纳法，表明当d → ∞时，高阶点处奇点的出现概率趋于1 - o(1)。
• 应用代数几何中的结果，包括余切层的结构以及嵌入维数e(x) = dim_{κ(x)}(Ω¹_X|_𝔽_q(x))的定义。
• 最终的密度公式结合了zeta函数ζ_V(m+1)、ζ_U(m+1)与ζ_{V_e}(m-e)（e < m），并引入了局部条件T的修正因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域上，当何种条件下存在包含固定闭子概形Z的光滑超平面截面，且与光滑拟射影概形X光滑相交？
• RQ2 如何在有限子概形Y处预设超平面的局部条件，同时保持交线的光滑性？
• RQ3 此类超平面在所有包含Z的超平面空间中的精确密度为何？如何显式计算？
• RQ4 何时满足维数条件max_{0≤e≤m−1} {e + dim V_e} < m，特别是对于具有简单法向交线的概形？
• RQ5 该结果能否用于通过超平面截面将有限域上的概形嵌入光滑概形？

主要发现

• 当且仅当max_{0≤e≤m−1} {e + dim V_e} < m 且 V_m = ∅ 时，密度μ_Z(𝒫)非零，其中V = Z ∩ X，V_e为嵌入维数为e的点的集合。
• 精确密度由公式μ_Z(𝒫) = (#T / #H⁰(Y, ℐ_Z·𝒪_Y)) × ζ_V(m+1) / (ζ_U(m+1) × ∏_{e=0}^{m−1} ζ_{V_e}(m−e)) 给出，该公式在所述维数条件下为正。
• 当V = Z ∩ X具有简单法向交线且等维时，条件max_{0≤e≤m−1} {e + dim V_e} < m 成立。
• 当特殊情况Y = ∅且T = {0}时，结果退化为Altman与Kleiman的Bertini定理在有限域上的类比，恢复了[Wut14]中的定理2.1。
• 证明表明，当d → ∞时，度数大于(d−c)/(m+1)的点处奇点的出现概率趋于零，从而以高概率保证光滑性。
• 该方法通过使用尊重预设值f|_Y ∈ T的多项式均匀随机构造，成功处理了在Y处的局部条件。