[论文解读] Bertram's Pairs Trading Strategy with Bounded Risk

Vladimír Holý, Michal Černý|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2021

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一句话总结

本文通过在单位时间内利润的方差约束下引入有界风险，扩展了Bertram的配对交易策略，将优化问题转化为非凸但可高效求解的问题。研究证明，风险约束策略保持了几何可追踪性，并量化了在Ornstein–Uhlenbeck价差过程中参数误设对策略表现的影响。

ABSTRACT

Finding Bertram's optimal trading strategy for a pair of cointegrated assets following the Ornstein--Uhlenbeck price difference process can be formulated as an unconstrained convex optimization problem for maximization of expected profit per unit of time. This model is generalized to the form where the riskiness of profit, measured by its per-time-unit volatility, is controlled (e.g. in case of existence of limits on riskiness of trading strategies imposed by regulatory bodies). The resulting optimization problem need not be convex. In spite of this undesirable fact, it is demonstrated that the problem is still efficiently solvable. In addition, the problem that parameters of the price difference process are never known exactly and are imprecisely estimated from an observed finite sample is investigated (recalling that this problem is critical for practice). It is shown how the imprecision affects the optimal trading strategy by quantification of the loss caused by the imprecise estimate compared to a theoretical trader knowing the parameters exactly. The main results focus on the geometric and optimization-theoretic viewpoint of the risk-bounded trading strategy and the imprecision resulting from the statistical estimates.

研究动机与目标

• 开发Bertram配对交易策略的风险约束版本，限制单位时间利润的波动率。
• 应对实际约束条件，即监管或风险管理机构对交易策略施加的最大可接受风险水平。
• 研究Ornstein–Uhlenbeck过程参数（μ, τ, σ²）估计不准确对最优交易策略和预期利润的影响。
• 量化由于参数误设导致的性能损失，相对于已知参数下的理论最优策略。
• 为在统计不确定性下分析有界风险配对交易提供几何与优化理论框架。

提出的方法

• 将协整资产间的价格价差建模为Ornstein–Uhlenbeck过程：dXs = τ(μ − Xs)dt + σdWs。
• 将Bertram的无约束利润最大化问题重新表述为带有单位时间利润方差约束的约束优化问题。
• 采用拉格朗日松弛方法求解非凸优化问题，实现最优入场和出场阈值的高效计算。
• 引入性能度量π(a,b,c)，表示每轮交易的净利润，考虑交易成本和价差动态。
• 应用几何分析研究风险约束下的有效前沿，可视化预期利润与风险之间的权衡。
• 采用蒙特卡洛模拟与解析推导，评估参数误设（μ, τ, σ²）对最优策略和预期利润的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位时间利润上施加方差约束，如何影响Bertram配对交易策略中的最优入场和出场阈值？
• RQ2 参数误设（特别是μ, τ, σ²）对有界风险交易策略的预期利润和风险特征有何影响？
• RQ3 由风险约束引发的非凸优化问题在实际中是否仍可高效求解？
• RQ4 基于估计参数的策略的预期利润与已知参数下的理论最优利润相比如何？
• RQ5 支撑有界风险配对交易策略的几何与优化理论结构是什么？

主要发现

• 尽管风险约束优化问题为非凸，但通过拉格朗日松弛与数值延拓方法，仍可高效求解。
• 当真实长期均值μ轻微误设时（例如μ = 1.001而非1.000），若约束为紧约束，预期利润仍接近最优。
• 对σ²的低估会导致预期利润次优，因为策略变得过于激进，最优阈值a低于无约束最优值。
• 对σ²的高估会使策略过于保守，导致预期利润低于理论最大值。
• τ（均值回归速度）的误设会显著扭曲预期交易周期长度与利润，低估会导致周期过长且盈利能力下降。
• 参数误设导致的性能损失可量化：例如，当μ误设0.1%时，在紧约束下预期利润最多下降10%，具体取决于真实参数值。