[论文解读] Berwald metrics constructed by Chevalley's polynomials

Zoltán Szabó|ArXiv.org|Jan 21, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 20被引用 21

一句话总结

本文通過切比謝夫多項式明確構造了伯爾瓦爾德度量，分類了所有可逆與不可逆的伯爾瓦爾德度量，並完全確定了卡坦對稱芬斯勒流形。關鍵貢獻在於證明：伯爾瓦爾德度量由其在任意固定的最大完全測地平坦（卡坦平坦）上的默裡科夫範數唯一確定，且所有此類平坦彼此等距。

ABSTRACT

Berwald metrics are particular Finsler metrics which still have linear Berwald connections. Their complete classification is established in an earlier work, [Sz1], of this author. The main tools in these classification are the Simons-Berger holonomy theorem and the Weyl-group theory. It turnes out that any Berwald metric is a perturbed-Cartesian product of Riemannian, Minkowski, and such non-Riemannian metrics which can be constructed on irreducible symmetric manifolds of $rank > 1$. The existence of these metrics are well established by the above theories. The present paper has several new features. First, the Finsler functions of Berwald manifolds are explicitly described by the Chevalley polynomials. New results are also the complete lists of reversible (d(x,y)=d(y,x)) resp. irreversible ($d(x,y) ot =d(y,x)$) Berwald metrics. The Cartan symmetric Finsler manifolds are also completely determined. The paper is concluded by proving that a Berwald metric is uniquely determined by the Minkowski metric induced on an arbitrarily fixed maximal totalgeodesic flat submanifold (Cartan flat). Moreover, any two Cartan flats are isometric.

研究动机与目标

• 透過切比謝夫多項式提供伯爾瓦爾德度量的芬斯勒函數的明確描述。
• 完成可逆與不可逆伯爾瓦爾德度量的分類。
• 完全確定卡坦對稱芬斯勒流形的結構。
• 確立伯爾瓦爾德度量由其在單一卡坦平坦上的限制唯一確定。
• 證明伯爾瓦爾德流形中任意兩個卡坦平坦彼此等距。

提出的方法

• 利用切比謝夫多項式在伯爾瓦爾德流形的切空間上明確構造芬斯勒函數。
• 應用西蒙斯-伯傑Holonomy定理，識別出允許非黎曼伯爾瓦爾德擴張的黎曼聯絡。
• 在卡坦子代數上利用外爾群不變性來特徵化Holonomy不變的芬斯勒範數。
• 使用德雷姆分解，將結果從不可約情形推廣至可約對稱空間。
• 將外爾群不變範數從卡坦子代數平行延拓至整個切空間，從而構造伯爾瓦爾德度量。
• 透過卡坦平坦的等距性與其上的默裡科夫結構，確立伯爾瓦爾德度量的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用切比謝夫多項式明確描述伯爾瓦爾德度量的芬斯勒函數？
• RQ2 可逆與不可逆伯爾瓦爾德度量的完整清單為何？
• RQ3 哪些卡坦對稱芬斯勒流形存在，它們如何被特徵化？
• RQ4 伯爾瓦爾德度量在多大程度上由其在單一卡坦平坦上的默裡科夫範數唯一確定？
• RQ5 伯爾瓦爾德流形中所有卡坦平坦是否彼此等距，這與整體度量唯一性的關係為何？

主要发现

• 伯爾瓦爾德度量被完全分類為高於1階的不可約對稱空間上黎曼、默裡科夫與非黎曼度量的擾動-卡蒂西安乘積。
• 所有伯爾瓦爾德度量的芬斯勒函數均透過卡坦子代數上的切比謝夫多項式明確構造。
• 可逆與不可逆伯爾瓦爾德度量已完整列出，後者源自德雷姆分解中非對稱的不可約因子。
• 卡坦對稱芬斯勒流形完全由其在卡坦子代數上默裡科夫範數的外爾群不變性所決定。
• 伯爾瓦爾德度量由其在任意固定最大完全測地平坦（卡坦平坦）上所誘導的默裡科夫度量唯一確定。
• 伯爾瓦爾德流形中任意兩個卡坦平坦局部等距，從而確認度量結構的整體唯一性。