[论文解读] Besicovitch Covering Property on graded groups and applications to measure differentiation

Enrico Le Donne, Séverine Rigot|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 22

一句话总结

本论文完整刻画了满足贝西科维奇覆盖性质（BCP）的齐次距离的分次群：此类距离存在当且仅当该群的步数为1或2。关键结果为：分次群存在满足BCP的齐次距离（从而支持局部有限博雷尔测度的微分）当且仅当其步数为1或2。证明依赖于对李代数分次中不同层之间交换性的分析，并运用爆破技术表明高阶步数群上的次黎曼距离不满足BCP。

ABSTRACT

We give a complete answer to which homogeneous groups admit homogeneous distances for which the Besicovitch Covering Property (BCP) holds. In particular, we prove that a stratified group admits homogeneous distances for which BCP holds if and only if the group has step 1 or 2. These results are obtained as consequences of a more general study of homogeneous quasi-distances on graded groups. Namely, we prove that a positively graded group admits continuous homogeneous quasi-distances satisfying BCP if and only if any two different layers of the associated positive grading of its Lie algebra commute. The validity of BCP has several consequences. Its connections with the theory of differentiation of measures is one of the main motivations of the present paper. As a consequence of our results, we get for instance that a stratified group can be equipped with some homogeneous distance so that the differentiation theorem holds for each locally finite Borel measure if and only if the group has step 1 or 2. The techniques developed in this paper allow also us to prove that sub-Riemannian distances on stratified groups of step 2 or higher never satisfy BCP. Using blow-up techniques this is shown to imply that on a sub-Riemannian manifold the differentiation theorem does not hold for some locally finite Borel measure.

研究动机与目标

• 确定哪些分次群允许存在满足贝西科维奇覆盖性质（BCP）的连续齐次拟距离。
• 阐明BCP与分次群上测度微分之间的关系。
• 建立子黎曼距离在步数≥3的分次群上永远不满足BCP的结论。
• 研究BCP是否蕴含有限拓扑维数，以及在非加倍空间上是否存在满足BCP的双利普希茨等价距离。

提出的方法

• 分析分次李代数及其相关李群的结构，重点关注分次中不同层之间的交换性。
• 引入并研究左不变且关于伸缩变换为一齐次的齐次拟距离。
• 应用爆破技术分析步数≥2的卡诺群上子黎曼距离的局部几何。
• 利用阿苏阿德嵌入定理表明任意加倍度量空间均存在双利普希茨等价的拟距离且满足BCP。
• 利用BCP与局部有限博雷尔测度微分定理存在的等价性。
• 证明若分次群的李代数中两个不同层不交换，则不存在满足BCP的齐次拟距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些分次群，存在满足贝西科维奇覆盖性质（BCP）的齐次拟距离？
• RQ2 分次群的步数与其齐次距离满足BCP之间的关系是什么？
• RQ3 能否通过齐次距离保证在分次群上局部有限博雷尔测度的微分，当且仅当该群的步数为1或2？
• RQ4 步数≥3的卡诺群上的子黎曼距离是否满足BCP，这对测度微分有何影响？
• RQ5 度量空间的有限拓扑维数是存在双利普希茨等价距离满足BCP的必要条件还是充分条件？

主要发现

• 正分次群存在连续齐次拟距离满足BCP当且仅当其李代数中任意两个不同层彼此交换。
• 分次群存在满足BCP的齐次距离当且仅当其步数为1或2。
• 通过爆破技术表明，步数≥3的分次群上的子黎曼距离永远不满足BCP。
• 在子黎曼流形上，由于缺乏BCP，某些局部有限博雷尔测度的微分定理不成立。
• 在任意加倍度量空间中，存在双利普希茨等价的拟距离满足BCP，但如果群的李代数中存在非交换层，则此类距离可能不具有齐次性。
• 若度量空间满足BCP，则其拓扑维数必为有限；但存在有限维空间，其上不存在任何双利普希茨等价距离满足BCP。