[论文解读] Besov class via heat semigroup on Dirichlet spaces I: Sobolev type inequalities

Patricia Alonso Ruiz, Fabrice Baudoin+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 36被引用 9

一句话总结

本文在一般 Dirichlet 空间中引入了一种基于热半群的 Besov 类框架，无需依赖梯度结构即可建立 $L^p$-Sobolev 不等式与等周不等式。通过热核估计和一种新颖的半范数 $ \|f\|_{p,\alpha}$，将 Varopoulos 的 $L^2$ Sobolev 不等式推广至所有 $p \geq 1$，在较弱假设下证明了强 Sobolev 不等式，并为 $p=1$ 推导出显式的等周型估计。其核心贡献在于提出了一套统一的、基于半群的理论方法，适用于非光滑、分形及抽象度量测度空间中的 Sobolev 与等周理论。

ABSTRACT

We introduce heat semigroup-based Besov classes in the general framework of Dirichlet spaces. General properties of those classes are studied and quantitative regularization estimates for the heat semigroup in this scale of spaces are obtained. As a highlight of the paper, we obtain a far reaching $L^p$-analogue, $p \ge 1$, of the Sobolev inequality that was proved for $p=2$ by N. Varopoulos under the assumption of ultracontractivity for the heat semigroup. The case $p=1$ is of special interest since it yields isoperimetric type inequalities.

研究动机与目标

• 通过热半群构建 Dirichlet 空间中 Besov 型空间的一般框架，避免依赖梯度或微分结构。
• 在热核估计与新半范数条件之下，将 Varopoulos 的 $L^2$ Sobolev 不等式推广至所有 $p \geq 1$。
• 通过一种新的插值与正则化方法，从弱 Sobolev 不等式推导出强 $L^q$ Sobolev 不等式。
• 利用半范数 $\|f\|_{1,\alpha}$ 推导 $p=1$ 时的等周型不等式，将其与 Cheeger 及高斯等周理论相联系。
• 将新提出的 Besov 半范数与一般 Dirichlet 空间中的谱理论、曲率条件及对数 Sobolev 不等式相联系。

提出的方法

• 利用热核 $p_t(x,y)$ 定义 Besov 半范数 $\|f\|_{p,\alpha} = \sup_{t>0} t^{-\alpha} \left( \int_X \int_X |f(x)-f(y)|^p p_t(x,y) \, d\mu(x) d\mu(y) \right)^{1/p}$。
• 证明在热核估计 $p_t(x,y) \leq C t^{-\beta}$ 下，弱 Sobolev 不等式 $\sup_{s \geq 0} s \, \mu(\{|f| \geq s\})^{1/q} \leq C_{p,\alpha,\beta} \|f\|_{p,\alpha}$ 成立，其中 $q = \frac{p\beta}{\beta - p\alpha}$。
• 通过结合弱不等式与条件 $\|f\|_{p,\alpha} \leq C \liminf_{t \to 0} t^{-\alpha} \left( \int_X \int_X |f(x)-f(y)|^p p_t(x,y) \, d\mu(x) d\mu(y) \right)^{1/p}$，建立强 Sobolev 不等式 $\|f\|_{L^q(X)} \leq C_{p,\alpha,\beta} \|f\|_{p,\alpha}$。
• 利用谱理论与谱隙 $\lambda_1$，通过 $h_\alpha \geq \sup_{t>0} \frac{1 - e^{-\lambda_1 t}}{t^\alpha}$ 推导出 Cheeger 型常数 $h_\alpha$ 的下界。
• 应用 Ledoux 方法，证明当 $p=1$ 时，半范数 $\|\mathbf{1}_A\|_{1,\alpha}$ 控制 Minkowski 外部边界测度，从而导出等周型不等式。
• 将 $L^1$-Besov 半范数与对数 Sobolev 及高斯等周不等式相联系，证明 $\rho_0 \leq C_l k^2$，其中 $k$ 为高斯等周常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设梯度结构的前提下，Varopoulos 的 $L^2$ Sobolev 不等式是否可推广至一般 Dirichlet 空间中的所有 $p \geq 1$？
• RQ2 基于热半群的半范数 $\|f\|_{p,\alpha}$ 在刻画非光滑空间中 Sobolev 型正则性方面起到何种作用？
• RQ3 新提出的 Besov 空间 $\mathbf{B}^{p,\alpha}(X)$ 与度量测度空间中经典的 Sobolev、BV 及等周理论有何关系？
• RQ4 $p=1$ 情形的不等式是否能导出显式的等周型估计？其与 Cheeger 常数有何关联？
• RQ5 在满足 $\mu(X)=1$ 的概率空间中，$L^1$-Besov 半范数与对数 Sobolev 或高斯等周常数之间存在何种关系？

主要发现

• 论文在热核估计与最小正则性条件下，证明了强 $L^q$ Sobolev 不等式 $\|f\|_{L^q(X)} \leq C_{p,\alpha,\beta} \|f\|_{p,\alpha}$，其中 $p \geq 1$，$0 < \alpha < \beta$，且 $p < \frac{\beta}{\alpha}$，$q = \frac{p\beta}{\beta - p\alpha}$。
• 当 $p=1$ 时，通过 Ledoux 方法，半范数 $\|f\|_{1,\alpha}$ 导出显式常数的等周型不等式，且与 Minkowski 外部边界测度相关联。
• Cheeger 型常数 $h_\alpha$ 满足 $h_\alpha \geq \sup_{t>0} \frac{1 - e^{-\lambda_1 t}}{t^\alpha}$，其中 $\lambda_1$ 为谱隙，提供了谱下界。
• $L^1$-Besov 半范数 $\|\mathbf{1}_A\|_{1,\alpha}$ 控制等周轮廓，且在对数 Sobolev 不等式成立时，有 $\rho_0 \leq C_l k^2$，其中 $k$ 为高斯等周常数。
• 半范数 $\|f\|_{2,1/2}$ 与 Dirichlet 能量 $\mathcal{E}(f,f)$ 等价，从而将 Varopoulos 的 $L^2$ 结果作为特例恢复。
• 在具有标准 Dirichlet 型的欧氏空间中，对所有 $p \geq 1$ 与 $\alpha = \frac{1}{2}$，条件 $\|f\|_{p,\alpha} \leq C \liminf_{t \to 0} t^{-\alpha} \left( \int_X \int_X |f(x)-f(y)|^p p_t(x,y) \, d\mu(x) d\mu(y) \right)^{1/p}$ 恒成立。