[论文解读] Besov spaces via hyperbolic fillings

Tomás Soto|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过在度量测度空间上使用底层度量空间的双曲填充，提出了一类在 $0<s<1$ 范围内的齐次 Besov 空间 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 的新表征方法。该方法通过函数的 Poisson 延拓的离散导数定义 Besov 范数，建立了与经典定义的等价性，并在此平滑度范围内实现了 Lipschitz 函数稠密性与复插值的证明。

ABSTRACT

We establish a new characterization of the homogeneous Besov spaces $\dot{\mathcal B}^{s}_{p,q}(Z)$ with smoothness $s \in (0,1)$ in the setting of doubling metric measure spaces $(Z,d,μ)$. The characterization is given in terms of a hyperbolic filling of the metric space $(Z,d)$, a construction which has previously appeared in the context of other function spaces in [3,1,2]. We use the characterization to obtain results concerning the density of Lipschitz functions in the spaces $\dot{\mathcal B}^{s}_{p,q}(Z)$ and a general complex interpolation formula in the smoothness range $0 &lt; s &lt; 1$.

研究动机与目标

• 在度量测度空间上，利用几何结构，为 $0<s<1$ 平滑度范围内的齐次 Besov 空间 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 提供一种新的内在表征。
• 在欧几里得情形及其他已知表征下，建立该新定义与经典 Besov 空间定义的等价性。
• 证明在 $Q/(Q+s) < p \leq \infty$ 且 $0 < q \leq \infty$ 条件下，Lipschitz 函数在 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 中的稠密性。
• 基于双曲填充框架，推导出 $0<s<1$ 平滑度范围内 Besov 空间的通用复插值公式。

提出的方法

• 使用尺度为 $2^{-n}$ 的 dyadic 网 $X_n$ 构造度量空间 $(Z,d)$ 的双曲填充，形成具有有界度数的图 $(X,E)$。
• 将局部可积函数 $f \in L^1_{\text{loc}}(Z)$ 的 Poisson 延拓 $Pf$ 定义为以 $\xi_x \in X_n$ 为中心的球 $B(x)$ 上 $f$ 的平均值。
• 将定义在图 $X$ 上的序列 $u$ 的离散导数 $du$ 定义为编码边集 $E$ 上差值的向量值序列，其逐点范数为 $|du(x)| = \left(\sum_{x' \sim x} |u(x') - u(x)|^2\right)^{1/2}$。
• 引入序列空间 ${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$，其拟范数为 $\|u\|_{{\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)} = \left(\sum_{k \in \mathbb{Z}} 2^{ksq} \left\| \sum_{|e|=k} |u(e)| \chi_{B(e)} \right\|_{L^p(Z)}^q \right)^{1/q}$。
• 通过算子 $S: f \mapsto d(Pf)$ 与 $R: u \mapsto \lim_{N \to \infty} \left( \sum_{n=-N}^N I_n u - \sum_{n=-N}^{-1} I_n u(\xi_0) \right) + \mathbb{C}$，建立 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 与 ${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$ 之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 齐次 Besov 空间 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 在 $0<s<1$ 范围内能否通过度量空间的双曲填充实现内在表征？
• RQ2 通过双曲填充得到的新表征是否在欧几里得情形下与经典定义等价？
• RQ3 在新表征下，Lipschitz 函数是否在 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 中稠密？
• RQ4 能否基于该框架推导出 $0<s<1$ 平滑度范围内 Besov 空间的通用复插值公式？

主要发现

• 通过双曲填充与 Poisson 延拓的离散导数对 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 的新表征，与欧几里得情形下的标准定义等价，该结论由命题 3.1 确认。
• 当 $Q/(Q+s) < p \leq \infty$ 且 $0 < q \leq \infty$ 时，空间 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 通过有界线性算子 $S$ 与 $R$ 同构于序列空间 ${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$，且满足 $R \circ S = \text{id}$。
• 当 $\max(p,q) < \infty$ 时，具有有界支集的 Lipschitz 函数在 $\dot{\mathcal{B}}^{s}_{p,q}(Z)$ 中稠密，该结论由 ${\mathcal{I}}^{s}_{p,q}(E)$ 中有限支集序列的稠密性及 $R$ 的满射性得出。
• 该构造使得 $0<s<1$ 范围内 Besov 空间的通用复插值公式得以建立，将已知结果推广至度量测度空间设定。