[论文解读] Besov-type spaces with variable smoothness and integrability II

Douadi Drihem|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文建立了具有可变光滑性与可变可积性指数的型Besov空间的$φ$-变换表征与原子分解，将经典函数空间理论拓展至可变指数情形。主要贡献在于证明了这些空间中的函数具有原子表示形式，并可通过序列空间等价表征，从而为可变指数情形下偏微分方程与流体动力学中的分析提供了新工具。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study properties of Besov-type spaces with variable smoothness. We show that these spaces are characterized by the phi-transforms in appropriate sequence spaces and we obtain atomic decompositions for these spaces.

研究动机与目标

• 将型Besov空间理论推广至可变光滑性与可积性指数情形。
• 为$B_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),\tau(\cdot)}$与$\widetilde{B}_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),p(\cdot)}$空间建立$φ$-变换表征。
• 为这些可变指数函数空间推导原子分解。
• 通过关联的序列空间为这些函数空间提供等价的拟范数。

提出的方法

• 通过 dyadic cubes 与 Schwartz 函数 $\Phi$ 和 $\varphi$ 的频率局部化，定义型Besov空间 $B_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),\tau(\cdot)}$ 与 $\widetilde{B}_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),p(\cdot)}$。
• 利用 $φ$-变换通过映射至包含 $\ell^{q(\cdot)}(L^{p(\cdot)})$ 范数的序列空间，表征这些空间中的函数。
• 构造在 dyadic cubes 上有紧支集的原子 $\varrho_{v,m}$，并证明任一属于该空间的函数在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 中可表示为级数形式 $f = \sum_{v,m} \lambda_{v,m} \varrho_{v,m}$。
• 通过基于原子衰减性与加权 $L^{p(\cdot)}$ 范数的估计，证明原子级数的收敛性。
• 应用关于可变指数范数的技术引理，包括涉及 $c_{\log}(1/p)$ 与 dyadic cube 相互作用的界。
• 通过将函数空间与序列空间 $b_{p(\cdot)/t,\infty}^{s(\cdot),\tau(\cdot)}$ 中的范数关联，推导出函数空间的等价拟范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $φ$-变换表征具有可变光滑性与可积性的型Besov空间？
• RQ2 $B_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),\tau(\cdot)}$ 与 $\widetilde{B}_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),p(\cdot)}$ 空间的原子分解具有何种结构？
• RQ3 能否从关联的序列空间推导出这些函数空间的等价拟范数？
• RQ4 在原子分解与 $φ$-变换映射下，可变指数范数的行为如何？

主要发现

• 空间 $B_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),\tau(\cdot)}$ 可通过包含 $\|\chi_P\|_{\tau(\cdot)}$ 的 $\ell^{q(\cdot)}(L^{p(\cdot)})$ 序列空间实现 $φ$-变换表征。
• 任一属于 $B_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),\tau(\cdot)}$ 或 $\widetilde{B}_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),p(\cdot)}$ 的函数 $f$ 均可表示为原子分解 $f = \sum_{v,m} \lambda_{v,m} \varrho_{v,m}$，且在 $\mathcal{S}'(\mathbb{R}^n)$ 中收敛。
• 序列 $\{\lambda_{v,m}\}$ 属于序列空间 $b_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha,\tau(\cdot)}$，且该函数空间的范数与该序列空间的拟范数等价。
• 通过利用原子的衰减性与可变指数范数，对测试函数的级数积分进行估计，从而确立原子级数的收敛性。
• 证明依赖于涉及 $c_{\log}(1/p)$ 与 dyadic cube 相互作用的技术估计，表明 $\|\cdot\|_{B_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha(\cdot),\tau(\cdot)}} \approx \|\lambda\|_{b_{p(\cdot),q(\cdot)}^{\alpha,\tau(\cdot)}}$。
• 结果将经典原子分解与 $φ$-变换表征推广至可变指数情形，为可变光滑性与可积性空间中的进一步分析奠定了基础。