[论文解读] Bessel functions and local converse conjecture of Jacquet

Jingsong Chai|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 23被引用 6

一句话总结

该论文通过证明：对所有 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 及所有 $GL_r(F)$ 的通用表示 $\rho$，若局部 $\gamma$-因子满足 $\gamma(s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$，则有 $\pi_1 \cong \pi_2$，从而证明了 $p$-进域上 $GL_n(F)$ 的 Jacquet 局部互反猜想。证明方法使用了 Whittaker 模型中的贝塞尔函数与 Howe 向量，表明相等的 $\gamma$-因子蕴含相等的贝塞尔函数，而贝塞尔函数通过弱核公式唯一确定表示。

ABSTRACT

In this paper, we prove the local converse conjecture of Jacquet over p-adic fields for GL(n) using Bessel functions.

研究动机与目标

• 证明 $p$-进域上 $GL_n(F)$ 的 Jacquet 局部互反猜想。
• 证明对所有 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$，若局部 $\gamma$-因子 $\gamma(s, \pi \times \rho, \psi)$ 相等，则可推出通用表示 $\pi_1$ 与 $\pi_2$ 同构。
• 证明贝塞尔函数可通过弱核公式唯一确定表示（至同构）。
• 证明相等的 $\gamma$-因子蕴含 Whittaker 模型中归一化 Howe 向量相等，从而推出贝塞尔函数相等。

提出的方法

• 利用弱核公式证明贝塞尔函数 $j_\pi$ 可通过同构唯一确定 $\pi$。
• 将问题约化为证明对角矩阵 $a$ 与最长 Weyl 元素 $\omega_n$，有归一化 Howe 向量 $W^1_{v_m}(a\omega_n) = W^2_{v_m}(a\omega_n)$。
• 在 $GL_{2r+1}(F) \times GL_r(F)$ 上构造 Rankin-Selberg 积分，将 $\gamma$-因子与 Whittaker 函数关联。
• 应用 Shahidi 的局部系数公式 $C(s, \tau_i \otimes \sigma)$，在 $\gamma$-因子相等条件下证明 $C(s, \tau_1 \otimes \sigma) = C(s, \tau_2 \otimes \sigma)$。
• 利用 $\gamma$-因子的乘性及 $(2r+1,2r)$-局部互反定理，推导出 $\tau_1 \cong \tau_2$。
• 通过 Bernstein-Zelevinsky 分类法，由 $\tau_1 \cong \tau_2$ 推出 $\pi_1 \cong \pi_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对 $GL_n(F)$ 的通用表示 $\pi_1, \pi_2$，若对所有 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 及所有 $GL_r(F)$ 的通用表示 $\rho$，均有 $\gamma(s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$，是否可推出 $\pi_1 \cong \pi_2$？
• RQ2 当 $\gamma$-因子相等时，贝塞尔函数是否可用于建立表示的同构？
• RQ3 归一化 Howe 向量在 Whittaker 模型中在多大程度上反映表示的结构？
• RQ4 Rankin-Selberg 积分与 Shahidi 公式如何用于关联 $\gamma$-因子、局部系数与 Whittaker 函数？
• RQ5 在超临界情形下，弱核公式是否足以从贝塞尔函数恢复表示？

主要发现

• 通过贝塞尔函数与 Howe 向量，证明了 $p$-进域上 $GL_n(F)$ 的 Jacquet 局部互反猜想。
• 若对所有 $1 \leq r \leq \lfloor n/2 \rfloor$，有 $\gamma(s, \pi_1 \times \rho, \psi) = \gamma(s, \pi_2 \times \rho, \psi)$，则对不可约酉超临界表示，有 $\pi_1 \cong \pi_2$。
• 在 $\gamma$-因子相等条件下，对所有对角矩阵 $a$，有 $W^1_{v_m}(a\omega_n) = W^2_{v_m}(a\omega_n)$。
• 贝塞尔函数 $j_\pi$ 通过弱核公式唯一确定表示 $\pi$（至同构）。
• 在假设条件下，局部系数 $C(s, \tau_i \otimes \sigma)$ 对 $i=1,2$ 相等，从而推出 $\tau_1 \cong \tau_2$。
• 由 Bernstein-Zelevinsky 分类法，$\tau_1 \cong \tau_2$ 可推出 $\pi_1 \cong \pi_2$，完成证明。