[论文解读] Bessel potentials and optimal Hardy and Hardy-Rellich inequalities

Nassif Ghoussouband, Amir Moradifam|ArXiv.org|Sep 12, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文通过贝塞尔对——即满足某类二阶常微分方程存在正解的径向权函数对 (V, W)——对最优 Hardy 不等式与 Hardy-Rellich 不等式进行了完整刻画。它给出了如下不等式成立的充要条件：∫V|∇u|²dx ≥ c∫Wu²dx 与 ∫V|Δu|²dx ≥ ∫W|∇u|²dx，统一并推广了经典结果，包括 Caffarelli-Kohn-Nirenberg、Brezis-Vázquez 与 Filippas-Tertikas 的成果，且通过常微分方程的振荡理论推导出显式的最佳常数。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions on a pair of positive radial functions V and W on a ball B of radius R in R^n,$n \geq 1$, so that the following inequalities hold for all $u \in C_{0}^{\infty}(B)$: $\int_{B}V(x)| abla u |^{2}dx \geq \int_{B} W(x)u^2dx$, and $\int_{B}V(x)|Δu |^{2}dx \geq \int_{B} W(x)| abla u|^{2}dx+(n-1)\int_{B}(\frac{V(x)}{|x|^2}-\frac{V_r(|x|)}{|x|})| abla u|^2dx$. This characterization makes a very useful connection between Hardy-type inequalities and the oscillatory behaviour of certain ordinary differential equations, and helps in the identification of a large number of such couples (V, W) - that we call Bessel pairs -as well as the best constants in the corresponding inequalities. This allows us to improve, extend, and unify many results -old and new- about Hardy and Hardy-Rellich type inequalities, such as those obtained by Caffarelli-Kohn-Nirenberg, Brezis-Vazquez, Wang-Willem, Adimurthi-Chaudhuri-Ramaswamy, Filippas-Tertikas, Adimurthi-Grossi -Santra, Tertikas-Zographopoulos, and Blanchet-Bonforte-Dolbeault-Grillo-Vasquez.

研究动机与目标

• 为在 Rⁿ 中球体上所有紧支集光滑函数成立的 Hardy 型不等式，提供径向权函数 V 与 W 的必要且充分条件。
• 统一并拓展关于 Hardy 与 Hardy-Rellich 不等式的现有结果，包括 Caffarelli-Kohn-Nirenberg、Brezis-Vázquez 等人的工作。
• 通过贝塞尔对理论与关联常微分方程的振荡理论，识别此类不等式中的最佳常数。
• 将经典 Hardy 不等式及其改进推广至临界维数（如 n=2, n=4），并适用于变权重或幂次权重。

提出的方法

• 在 (0, R) 上定义贝塞尔对 (V, W) 为：使得常微分方程 y'' + (n−1)/r + V′(r)/V(r) y′ + cW(r)/V(r) y = 0 在 (0, R) 上存在正解的对，其中 c 为最佳常数。
• 引入权函数 β(V, W; R)，定义为使该常微分方程存在正解的最大 c 值，从而将不等式与常微分方程的振荡理论相联系。
• 利用积分条件，如 limsup_{r→0} r²ⁿ⁻² V(r)W(r) (∫_r^R dτ/(τⁿ⁻¹V(τ)))² < 1/4，来判断 (V, W) 是否为贝塞尔对。
• 应用该理论推导出涉及 |x|⁻²ᵐ、(a + b|x|ᵃ)ᵇ 及 V(x) = |x|⁻²ᵃ 等形式权重的不等式中的最优常数。
• 通过球谐函数分解与角动量量子数 k 的最小化，刻画四阶 Hardy-Rellich 不等式的最佳常数。
• 通过函数 f(x) = ((n−4−2m)(n+2m)/4 + x)² / ((n−4−2m)/2)² + x 的临界点分析，计算不同 m 范围下的最优常数 aₙ,ₘ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种径向权函数 V 与 W 的条件下，不等式 ∫_B V|∇u|²dx ≥ c∫_B W u²dx 对所有 u ∈ C₀∞(B) 成立？
• RQ2 此类不等式中的最佳常数 c 是什么？如何通过常微分方程理论进行刻画？
• RQ3 如何将经典 Hardy 与 Hardy-Rellich 不等式推广至包含变权重或幂次权重以及临界维数的情形？
• RQ4 在 n=2, 4 及更高维中，对径向与非径向函数，四阶 Hardy-Rellich 不等式的最优常数是什么？
• RQ5 特定二阶常微分方程的振荡行为如何决定 Hardy 型不等式的有效性与最优性？

主要发现

• 不等式 ∫_B V|∇u|²dx ≥ c∫_B W u²dx 对所有 u ∈ C₀∞(B) 成立，当且仅当常微分方程 (B_{V,cW}) 在 (0, R) 上存在正解，且最佳常数 c = β(V, W; R)。
• 当 V(x) ≡ 1 且 W(x) = |x|⁻² 时，最佳常数为 ((n−2)/2)²，恢复了经典 Hardy 不等式。
• 当 V(x) = |x|⁻²ᵃ 且 W(x) = |x|⁻²ᵃ⁻² 时，最佳常数为 ((n−2a−2)/2)²，推广了 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式。
• 对于形如 (a + b|x|ᵃ)ᵇ 的权重，其中 αβ > 0 且 m ≤ (n−2)/2，最佳常数为 ((n−2m−2)/2)²，适用于所有 n ≥ 2 维。
• 当 αβ < 0 且 2m−αβ ≤ n−2 时，最佳常数为 ((n−2m+αβ−2)/2)²，将结果拓展至非单调权重。
• 对于四阶不等式，最优常数 aₙ,ₘ 由关于 k 的最小值构成的分段公式给出，其显式表达式依赖于 m 与 n，即使在临界维数下也成立。