[论文解读] Best approximation on semi-algebraic sets and k-border rank approximation of symmetric tensors

Shmuel Friedland, Małgorzata Stawiska|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 12被引用 17

一句话总结

该论文建立了对称张量的最佳 $k$-边界秩逼近在何种条件下既唯一又对称。通过半代数几何与微分拓扑方法，证明了当 $k \leq N(m,d)$ 时，对称张量空间中一个开的半代数集 admits 唯一的对称最佳 $k$-边界秩逼近，将巴拿赫关于对称秩一逼近的定理推广至更高边界秩。

ABSTRACT

In the first part of this paper we study a best approximation of a vector in Euclidean space R^n with respect to a closed semi-algebraic set C and a given semi-algebraic norm. Assuming that the given norm and its dual norm are differentiable we show that a best approximation is unique outside a hypersurface. We then study the case where C is an irreducible variety and the approximation is with respect to the Euclidean norm. We show that for a general point in x in R^n the number of critical points of the distance function of x to C is bounded above by a degree of a related dominant map. If C induces a smooth projective variety in V_P in P(C^n) then this degree is the top Chern number of a corresponding vector bundle on V_P. We then study the problem when a best k(> 1)-border rank approximation of a symmetric tensor is symmetric. We show that under certain dimensional conditions there exists an open semi-algebraic set of symmetric tensors for which a best k-border rank is unique and symmetric.

研究动机与目标

• 确定对称张量的最佳 $k$-边界秩逼近在何种条件下是对称且唯一的。
• 将巴拿赫关于对称秩一逼近的定理推广至更高边界秩（$k \geq 2$）。
• 刻画最佳 $k$-边界秩逼近同时唯一且对称的对称张量集合。
• 在对称张量空间中建立一个开的半代数集，使得其最佳 $k$-边界秩逼近是对称的。
• 利用拓扑不变量（如最高陈数）对逼近问题中的临界点数量进行界定。

提出的方法

• 分析在可微范数及其对偶下，对闭的半代数集 $C \subset \mathbb{R}^n$ 的最佳逼近。
• 使用微分拓扑方法，证明当范数及其对偶可微时，最佳逼近在余维数为一的超曲面之外是唯一的。
• 应用代数几何方法，通过关联向量丛的最高陈数，对光滑射影代数簇 $V_{\mathbb{P}} \subset \mathbb{P}(\mathbb{C}^n)$ 的距离函数的临界点数量进行界定。
• 将临界点结果应用于对称张量空间 $\mathrm{S}(d,m,\mathbb{R})$ 与 $k$-边界秩张量的簇 $\mathcal{R}(k,m^{\times d})$。
• 利用克鲁斯卡尔定理验证 $\mathcal{R}(k,m^{\times d})$ 中一般对称张量在秩 $k$ 时的光滑性。
• 使用半代数集与拟代数集的理论，证明在某些开集上，最佳 $k$-边界秩逼近是对称且唯一的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对称张量的最佳 $k$-边界秩逼近是对称的？
• RQ2 当 $k \geq 2$ 时，对一般对称张量而言，最佳 $k$-边界秩逼近是否唯一？
• RQ3 巴拿赫关于对称秩一逼近的定理能否推广至更高边界秩？
• RQ4 对半代数集的最佳逼近问题中，临界点数量的拓扑界是什么？
• RQ5 不具有唯一对称最佳 $k$-边界秩逼近的对称张量集合是否具有空内部？

主要发现

• 当 $k \leq N(m,d)$ 时，在 $\mathrm{S}(d,m,\mathbb{R})$ 中存在一个开的半代数集，使得其最佳 $k$-边界秩逼近既唯一又对称。
• 不具有唯一最佳秩一逼近的对称张量集合包含于一个超曲面中，因此其内部为空。
• 当 $m \geq 2$，$d \geq 3$，且 $k \leq N(m,d)$ 时，一般对称张量的最佳 $k$-边界秩逼近是对称且唯一的。
• 从一般点到光滑射影代数簇 $V_{\mathbb{P}}$ 的距离函数的临界点数量，受关联向量丛的最高陈数所界定。
• $\mathrm{dist}(\cdot, \mathcal{R}(1,m^{\times d}))$ 限制在 $\mathrm{S}(m,d,\mathbb{R})$ 上时，在一个维数小于 $\dim \mathrm{S}(m,d,\mathbb{R})$ 的半代数集上不可微，意味着非唯一性仅发生在小集合上。
• 不具有唯一最佳秩一逼近的对称张量集合 $W$ 不包含任何开集，且包含于一个超曲面 $H$ 中。