[论文解读] Best constants and existence of maximizers for weighted Moser-Trudinger inequalities

Mengxia Dong, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^N$ 上建立了针对非径向对称函数的精确加权 Moser-Trudinger 不等式，给出了显式的最佳常数，并证明了极值函数的存在性。该研究扩展了先前结果，不再需要径向对称性假设，表明临界指数 $\alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$ 是最优的，且不等式对所有满足 $\|\nabla u\|_{L^N} \leq 1$ 的 $u \in L^N(\mathbb{R}^N; |x|^{-s}dx) \cap \dot{W}^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 一致成立。结果推广并强化了微分几何与偏微分方程领域中先前的不等式。

ABSTRACT

In this paper, we will establish the best constants for certain classes of weighted Moser-Trudinger inequalities on the entire Euclidean spaces $\mathbb{R}^N$. We will also prove the existence of maximizers of these sharp weighted inequalities. The class of functions considered here are not necessarily spherically symmetric. Our inequality in Theorem 1.1 improves the earlier one where such type of inequality was only considered for spherically symmetric functions by M. Ishiwata, M. Nakamura, H. Wadade in \cite{INW} (except in the case $s ot=0$). Since $\int_{\mathbb{R}^N}Φ_N(α|u|^{N/(N-1)})\frac{dx}{|x|^t}\le \int_{\mathbb{R}^N}e^{α|u|^{N/(N-1)}}|u|^N\frac{dx}{|x|^t}$, our inequality in Theorem 1.2 is stronger than the inequality in Theorem 1.1. We note that it suffices for us to prove the above inequalities for all functions not necessarily radially symmetric when $s=t$ by the well-known Caffareli-Kokn-Nirenberg inequalities \cite{CKN}.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^N$ 上为非径向对称函数建立精确加权 Moser-Trudinger 不等式。
• 确定涉及权函数 $|x|^{-t}$ 的不等式中最佳常数 $\alpha_{N,t}$。
• 在不假设径向对称性的前提下，证明精确加权不等式极值函数的存在性。
• 扩展先前仅限于径向对称函数的研究结果，特别是针对 $s \neq 0$ 的情形。
• 将经典的 Moser-Trudinger 不等式推广至具有齐次权函数和临界指数的无界区域。

提出的方法

• 作者利用 Orlicz 空间框架和函数 $\Phi_N(t) = \sum_{j=N-1}^\infty \frac{t^j}{j!}$ 来建模 Moser-Trudinger 嵌入中的指数增长，推导出精确不等式。
• 采用集中紧致性方法分析加权泛函的上确界，并通过弱收敛和严格凸性论证证明极值函数的存在性。
• 证明依赖于 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式，在 $s = t$ 时处理非径向函数，确保其紧嵌入到加权 $L^N$ 空间中。
• 作者使用变分法证明，某一极值序列的弱极限达到上确界，通过反证法和能量估计证明 $\|\nabla v\|_{L^N} = 1$。
• 通过比较加权 $L^N$ 范数与指数积分，推导出梯度范数的下界，从而强制在归一化中取等。
• 分析包括当 $\alpha \to \alpha_{N,t}^-$ 时上确界的精确渐近估计，表明当 $\alpha \geq \alpha_{N,t}$ 时出现爆破行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当函数不假设为径向对称时，$\mathbb{R}^N$ 上加权 Moser-Trudinger 不等式的最佳常数 $\alpha_{N,t}$ 是什么？
• RQ2 在不假设径向对称性的前提下，能否为精确加权 Moser-Trudinger 不等式建立极值函数的存在性？
• RQ3 临界指数 $\alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$ 与 $\alpha > \alpha_{N,t}$ 时不等式失效之间有何关系？
• RQ4 在不等式中，权函数 $|x|^{-N}$ 在多大程度上可被 $|x|^{-q}$（$q > N$）替代？
• RQ5 当 $\alpha \to \alpha_{N,t}^-$ 时，上确界 $AT(\alpha, \beta)$ 的精确渐近行为是什么？其依赖于参数 $N$、$t$ 和 $\beta$ 的方式如何？

主要发现

• 不等式 $\int_{\mathbb{R}^N} \Phi_N(\alpha |u|^{N/(N-1)}) \frac{dx}{|x|^t} \leq C \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u|^N}{|x|^s} dx \right)^{(N-t)/(N-s)}$ 的最佳常数为 $\alpha_{N,t} = (N-t)\omega_{N-1}^{1/(N-1)}$，且该常数是精确的：若 $\alpha > \alpha_{N,t}$，则不存在统一的常数 $C$。
• 该不等式对所有满足 $\|\nabla u\|_{L^N} \leq 1$ 的 $u \in L^N(\mathbb{R}^N; |x|^{-s}dx) \cap \dot{W}^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ 成立，即使 $u$ 不是径向对称的。
• 通过证明某一极值序列的弱极限满足 $\|\nabla v\|_{L^N} = 1$，作者证明了在不假设径向对称性的前提下，精确不等式的极值函数存在。
• 更强的不等式 $\int_{\mathbb{R}^N} e^{\alpha |u|^{N/(N-1)}} |u|^N \frac{dx}{|x|^t} \leq C \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u|^N}{|x|^s} dx \right)^{(N-t)/(N-s)}$ 在相同条件下成立，且比 $\Phi_N$ 形式更精确。
• 定理 C 中定义的上确界 $AT(\alpha, \beta)$ 满足当 $\alpha \to \alpha_N^-$ 时阶为 $\left(1 - (\alpha/\alpha_N)^{N-1}\right)^{-(N-\beta)/N}$ 的渐近界，确认了 $\alpha_N$ 的精确性。
• 不等式中权函数 $|x|^{-N}$ 可被 $|x|^{-q}$（$q > N$）替代，且最佳常数 $\alpha_{N,t}$ 保持不变，从而扩展了其适用范围。