[论文解读] Best finite constrained approximations of one-dimensional probabilities

Chuang Xu, Arno Berger|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Mathematical Approximation and Integration参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文建立了在 $L^r$-Kantorovich 距离下，对一维概率测度进行最佳有限约束逼近的必要且充分最优性条件，重点研究了原子位置或权重被预设的情形。该研究提出了一种新颖且基础的分析方法，基于单调函数由阶梯函数逼近，刻画了最佳均匀逼近（等权重）的特性，并推导出精确的收敛速率，包括对奇异测度（如反康托测度）的情形。

ABSTRACT

This paper studies best finitely supported approximations of one-dimensional probability measures with respect to the $L^r$-Kantorovich (or transport) distance, where either the locations or the weights of the approximations' atoms are prescribed. Necessary and sufficient optimality conditions are established, and the rate of convergence (as the number of atoms goes to infinity) is discussed. In view of emerging mathematical and statistical applications, special attention is given to the case of best uniform approximations (i.e., all atoms having equal weight). The approach developed in this paper is elementary; it is based on best approximations of (monotone) $L^r$-functions by step functions, and thus different from, yet naturally complementary to, the classical Voronoi partition approach.

研究动机与目标

• 发展一套系统理论，用于在一维概率测度的有限支撑逼近中，当原子位置或权重被约束时，建立最佳逼近的理论框架。
• 在不假设目标测度绝对连续或自相似的前提下，提供此类逼近的必要且充分最优性条件。
• 分析当原子数量增加时，最佳均匀逼近（等权重）的 $L^r$-Kantorovich 距离的收敛速率。
• 建立一种基于对偶性的方法，避免使用经典的 Voronoi 划分技术，尤其在权重被固定时更为有效。
• 证明即使在矩条件成立下，对于纯原子测度，逼近的收敛速率也可以任意缓慢。

提出的方法

• 将逼近问题表述为在最多含 $n$ 个原子的离散测度 $\nu$ 上最小化 $L^r$-Kantorovich 距离 $d_r(\nu, \mu)$。
• 利用原子位置与权重之间的对偶性，通过单调 $L^r$-函数的性质推导最优性条件。
• 将约束逼近问题转化为单调函数由阶梯函数逼近的最佳逼近问题。
• 应用单调函数与积分的初等分析方法，刻画最小化器，尤其针对等权重情形。
• 构造显式例子（如反康托测度）以分析经典自相似设定之外的收敛速率。
• 使用基于微积分的构造方法，证明收敛速率可任意缓慢：通过构造一个测度 $\mu$，使得对任意给定的零序列 $a_n$，均有 $d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) \geq a_n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当原子位置或权重被预设时，有限支撑测度成为给定一维概率测度在 $L^r$-Kantorovich 距离下最佳逼近的必要且充分条件是什么？
• RQ2 当原子数量 $n \to \infty$ 时，最佳均匀逼近（等权重）的 $L^r$-Kantorovich 距离的收敛速率如何表现？
• RQ3 即使在有限 $r$-阶矩条件下，最佳逼近的收敛速率是否可能任意缓慢？
• RQ4 所提出的基于单调函数逼近的方法与经典 Voronoi 划分技术相比如何，尤其在权重被约束时？
• RQ5 对于奇异测度（如反康托测度），$d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu)$ 的渐近行为如何？

主要发现

• 对于任意 $r \geq 1$ 及任意趋于零的序列 $a_n$，存在一个概率测度 $\mu \in \mathcal{P}_r$，使得对所有 $n$ 都有 $d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) \geq a_n$，表明收敛速度可任意缓慢。
• 对于反康托测度，渐近速率满足 $\liminf_{n\to\infty} n^{\beta_r} d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) > 0$ 且 $\limsup_{n\to\infty} n^{\beta_r} d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu) < \infty$，其中 $\beta_r = (1 - \frac{1}{r}) + \frac{1}{r} \frac{\log 3}{\log 2}$，这意味着 $D_r(\mu) = \beta_r^{-1} \in [\frac{\log 2}{\log 3}, 1)$。
• 最佳均匀逼近 $\delta_\bullet^{\mathbf{u}_n}$ 由位置与权重之间的对偶性导出的最优性条件刻画，通常与无约束最小化器 $\delta_\bullet^{\bullet,n}$ 不同。
• 该方法避免使用 Voronoi 划分，转而采用单调 $L^r$-函数由阶梯函数逼近的方法，为约束情形提供了更直接且基础的分析路径。
• 对于非奇异测度，在较弱矩条件下，经典结论 $n d_r(\delta_\bullet^{\bullet,n}, \mu)$ 收敛到正极限依然成立，但奇异或原子测度的收敛速率可能更慢。
• 本文证明，反康托测度的渐近速率 $D_r(\mu)$ 依赖于 $r$，与自相似情形下为常数的情况不同，表明在非自相似设定下具有更丰富的依赖结构。