[论文解读] Best proximity points for proximal contractions

Aurora Fernández-León|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文通过用完备性条件（特别是闭性与一种新提出的WAC（弱A-闭性）性质）替代集合A和B的紧致性假设，将最优接近点定理推广至近似压缩映射的情形，从而推广了以往依赖于逼近紧致性的结果。主要贡献在于在更弱的度量假设下证明了最优接近点的存在性，尤其适用于测地空间与一致凸巴拿赫空间。

ABSTRACT

In this paper we improve and extend some best proximity point results concerning the so-called proximal contractions. Specifically, compactness assumptions under the sets A and B are removed to consider completeness conditions instead.

研究动机与目标

• 消除最优接近点定理中对集合A和B的紧致性假设的限制。
• 以基于完备性的较弱条件（如闭性与新提出的WAC性质）替代逼近紧致性假设。
• 通过证明在更一般的度量空间条件下最优接近点的存在性，推广Sadiq3与Sadiq4的现有结果。
• 建立在A与B不紧致时（特别是在一致凸巴拿赫空间与严格凸度量空间中）最优接近点存在的条件。
• 引入并分析WAC性质，作为确保最优接近点存在的逼近紧致性之更弱替代方案。

提出的方法

• 为对(A,B)引入WAC（弱A-闭性）性质，定义为：若{xn} ⊆ A且d(xₙ,p) → d(A,B)，则p ∈ B₀。
• 以A的闭性与(A,B)满足WAC的组合，替代标准假设中A对B的逼近紧致性。
• 应用测地空间与唯一测地空间的概念，将结果推广至非紧致情形。
• 在一致凸巴拿赫空间中利用弱收敛性，证明若A为闭凸集且B为闭集，则(A,B)满足WAC。
• 在具有非空交集性质的严格凸度量空间中，利用该性质证明：当A为闭凸集且B为闭集时，(A,B)满足WAC。
• 证明WAC严格弱于逼近紧致性，但依然足以证明最优接近点的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设A或B紧致的前提下，能否保证近似压缩映射的最优接近点存在？
• RQ2 WAC性质是否严格弱于逼近紧致性，同时仍能保证最优接近点的存在？
• RQ3 在何种条件下（如闭性、凸性、一致凸性）下，WAC性质成立？
• RQ4 完备性与几何结构（如测地性、严格凸性）如何影响最优接近点的存在性？
• RQ5 能否通过基于完备性的假设，将Sadiq3与Sadiq4的结果推广至非紧集？

主要发现

• 引入WAC性质作为逼近紧致性的更弱替代，确保最小化到B的距离的序列的极限点属于B₀。
• 若A闭且(A,B)满足WAC，则A₀闭，建立了WAC与最优接近点闭性的联系。
• 在一致凸巴拿赫空间中，若A闭凸且B闭，则(A,B)满足WAC，从而保证最优接近点的存在。
• 在具有非空交集性质的严格凸度量空间中，若A闭凸且B闭，则(A,B)满足WAC。
• 通过反例表明，WAC严格弱于逼近紧致性：存在A₀闭但(B,A)不满足WAC的情形。
• 本文通过以闭性与WAC替代紧致性，推广了Sadiq3与Sadiq4的既有结果，从而显著拓宽了非紧致情形下最优接近点定理的适用范围。