[论文解读] Bestvina's normal form complex and the homology of Garside groups

Ruth Charney, John Meier+1 more|ArXiv.org|Feb 22, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 11

一句话总结

本论文利用Bestvina的规范型复形构造了Garside群的有限K(π,1)空间，使得可通过简单因子的有限格显式计算群的（上）同调。关键贡献在于一种函子性构造，表明Garside群满足一种弱非正曲率条件，从而在Garside元Δ满足可 tame 条件时，其可解子群为几乎阿贝尔群。

ABSTRACT

A Garside group is a group admitting a finite lattice generating set D. Using techniques developed by Bestvina for Artin groups of finite type, we construct K(π,1)s for Garside groups. This construction shows that the (co)homology of any Garside group G is easily computed given the lattice D, and there is a simple sufficient condition that implies G is a duality group. The universal covers of these K(π,1)s enjoy Bestvina's weak non-positive curvature condition. Under a certain tameness condition, this implies that every solvable subgroup of G is virtually abelian.

研究动机与目标

• 建立Garside群存在有限K(π,1)空间，推广Bestvina对有限型Artin群的构造。
• 提供一种基于格的明确方法，利用简单因子的有限生成集D计算Garside群的（上）同调。
• 将Bestvina的弱非正曲率条件推广至所有Garside群，建立几何与代数性质的联系。
• 识别出一个充分条件（Δ的可tame性），使得每个可解子群均为几乎有限生成阿贝尔群。
• 展示构造的函子性，表明其适用于任意具有格生成集的群，而不仅限于Artin群。

提出的方法

• 构造Garside元Δ的简单因子格D的几何实现|D|，形成一个单纯复形。
• 将Garside群G定义为Garside半群G⁺的分式群，其中Garside元Δ的因子构成有限格D。
• 利用左贪婪规范型（g = μ₁μ₂⋯μₖΔʲ）定义相对于D的字长范数|g|_D。
• 定义平移长度τ(g) = limₙ→∞ |gⁿ|_D / n，并在Δ的可tame条件下证明其远离零。
• 将Bestvina的弱非正曲率条件应用于所构造的K(π,1)的万有覆叠，利用凸性与距离估计。
• 利用G在复形X_D上的作用分析稳定子与轨道，特别是针对G_Δ中有限或无限阶元素。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅利用简单因子格D为任意Garside群构造有限K(π,1)空间？
• RQ2 规范型复形|D|的哪些几何与拓扑性质使得Garside群满足弱非正曲率条件？
• RQ3 在Garside元Δ的何种条件下，G的每个可解子群均为几乎阿贝尔群？
• RQ4 字长|g|_D与K(π,1)万有覆叠中几何距离d(*, g(*))之间有何关系？
• RQ5 K(π,1)的构造是否具有函子性，能否推广至所有具有格生成集的群，而不仅限于有限型Artin群？

主要发现

• Garside群可构造出由简单因子格D生成的有限K(π,1)空间，从而可通过定理3.6直接计算其（上）同调。
• 所构造的K(π,1)的万有覆叠满足Bestvina的弱非正曲率条件，确保具有类似非正曲率的行为。
• 给出了Garside群为对偶群的充分条件，该条件以|D|的子复形连通性为表达，如第4.2与4.4节所示。
• 若Garside元Δ为可tame（即||Δⁿ|| ≤ cn对某c成立），则对所有g ∈ G，其平移长度τ(g)远离零。
• 在Δ的可tame条件下，G的每个可解子群均为几乎有限生成阿贝尔群，如推论6.13所证。
• τ(g)下界证明依赖于轨道外接半径随n线性增长，当g在G_Δ中的像具有无限阶时，这与有限稳定子矛盾。