[论文解读] Beta-coalescents when sample size is large

Jonathan A Chetwynd-Diggle, Bjarki Eldon|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2026

Evolution and Genetic Dynamics被引用 0

一句话总结

本文在大样本下分析 Beta-合并过程，推导合并率和以世代为单位的时间尺度的缩放规律，并展示有效种群大小可以随 N 与参数 ψ(N) 而变化。

ABSTRACT

Sweepstakes reproduction refers to a highly skewed individual recruitment success without involving natural selection and may apply to individuals in broadcast spawning populations characterised by Type III survivorship. We consider an extension of the model of sweepstakes reproduction for a haploid panmictic population of constant size $N$; the extension also works as an alternative to the Wright-Fisher model. Our model incorporates an upper bound on the random number of potential offspring (juveniles) produced by a given individual. Depending on how the bound behaves relative to the total population size, we obtain the Kingman coalescent, an incomplete Beta-coalescent, or the (complete) Beta-coalescent. We argue that applying such an upper bound is biologically reasonable. Moreover, we estimate the error of the coalescent approximation. The error estimates reveal that convergence can be slow, and small sample size can be sufficient to invalidate convergence, for example if the stated bound is of the form $N/\log N$. We use simulations to investigate the effect of increasing sample size on the site-frequency spectrum. When the limit is a Beta-coalescent, the site frequency spectrum will be as predicted by the limiting tree even though the full coalescent tree may deviate from the limiting one. When in the domain of attraction of the Kingman coalescent the effect of increasing sample size depends on the effective population size as has been noted in the case of the Wright-Fisher model. Conditioning on the population ancestry (the random ancestral relations of the entire population at all times) may have little effect on the site-frequency spectrum for the models considered here (as evidenced by simulation results).

研究动机与目标

• motivate 研究在大样本下的共祖模型，并识别共祖近似中的误差来源。
• 推导合并 n 个区块中合并 k 个的通用共祖速率 λ_{n,k} 的一般形式，并分析与 N 和 ψ(N) 的缩放关系。
• 探讨 ψ(N) 的选择如何影响时间尺度和误差，并与 Kingman 及 Beta-合祖进行对比。
• 表征不同缩放规律（1<α<2）所隐含的有效种群大小范围。

提出的方法

• 给出合并 k 个区块的通用共祖速率：λ_{n,k}=c 1{k=2}+c′ ∫_0^1 1{0<x≤γ} x^{k-2}(1−x)^{n−k} Λ_{+}(dx) 其中 Λ+ 在 0 处非原子性。
• 分析时间缩放在 ψ1,N=O(1) 与 ψ1,N=N/logN 时与 N 世代成正比。
• 讨论选择 ψ(N) 和忽略误差项如何影响共祖近似的精确度。
• 利用 propositions CNversion0 与 Lambda-convergence 提取误差来源及与 Kingman 合并的联系。
• 在某些情形下将极限过程与 Kingman 合并联系起来，同时突出有效大小的变化。
• 描述有效大小如何随 1<α<2 时从 cN 变为 c′N^{α−1}(log N)^{2−α}。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大样本下合并 k 个区块的共祖速率 λ_{n,k} 的形式为何？
• RQ2 不同的 ψ(N) 缩放如何影响共祖的时间尺度和误差项大小？
• RQ3 在何种条件下过程类似 Kingman 或 Beta-合祖，如何表征有效种群大小？
• RQ4 当 1<α<2 时出现的有效大小区间如何，及对数因子如何修饰这一区间？

主要发现

• 合并 k 个区块的共祖速率具有涉及对 Λ+ 的积分并在 x≤γ 上有指示函数的一般形式。
• 出现新的时间缩放范畴，当 ψ1,N=O(1) 且 ψ1,N=N/logN 时，与 N 世代成正比。
• 共祖近似中的误差来自对 ψ(N) 的上界模型不正确以及被忽略的误差项。
• 即便处于 Kingman 吸引域（ψ(N)=N/logN），由于缩放，时间在实质上与 Beta-合祖的测量方式相似。
• 1<α<2 时有效大小可从 cN 增至 c′N^{α−1}(log N)^{2−α}，反映出取决于缩放的显著变异性。
• propositions CNversion0 与 Lambda-convergence 阐明了近似误差的来源及与极限共祖的联系。