[论文解读] Beta-conjugates of real algebraic numbers as Puiseux expansions

Jean-Louis Verger-Gaugry|arXiv (Cornell University)|May 3, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 5

一句话总结

本文通过从帕里上函数和β的最小多项式的倒数导出的在(0, 1/β)处的曲线芽的普鲁塞展开，为大于1的实代数数β的β-共轭建立了一个几何框架。它证明了β-共轭对应于普鲁塞分支，给出了帕里数的动态zeta函数ζβ(z)的乘积公式，并将帕里多项式的因式分解与这些展开的共轭类联系起来。

ABSTRACT

The beta-conjugates of a base of numeration $β> 1$, $β$ being a Parry number, were introduced by Boyd, in the context of the Rényi-Parry dynamics of numeration system and the beta-transformation. These beta-conjugates are canonically associated with $β$. Let $β> 1$ be a real algebraic number. A more general definition of the beta-conjugates of $β$ is introduced in terms of the Parry Upper function $f_β(z)$ of the beta-transformation. We introduce the concept of a germ of curve at $(0,1/β) \in \mathbb{C}^{2}$ associated with $f_β(z)$ and the reciprocal of the minimal polynomial of $β$. This germ is decomposed into irreducible elements according to the theory of Puiseux, gathered into conjugacy classes. The beta-conjugates of $β$, in terms of the Puiseux expansions, are given a new equivalent definition in this new context. If $β$ is a Parry number the (Artin-Mazur) dynamical zeta function $ζ_β(z)$ of the beta-transformation, simply related to $f_β(z)$, is expressed as a product formula, under some assumptions, a sort of analog to the Euler product of the Riemann zeta function, and the factorization of the Parry polynomial of $β$ is deduced from the germ.

研究动机与目标

• 将β-共轭的定义从帕里数推广到所有大于1的实代数数β。
• 通过普鲁塞展开的代数曲线奇点理论，为β-共轭建立几何起源。
• 将帕里数的阿廷-马祖尔动态zeta函数ζβ(z)表达为普鲁塞共轭类上的有限乘积。
• 将帕里多项式的因式分解与芽的不可约分支及共轭类的分解联系起来。
• 探索伽罗瓦共轭与β-共轭在等分布现象和极限动力学中的相互作用。

提出的方法

• 从帕里上函数fβ(z)和β的最小多项式的倒数在ℂ²中定义在(0, 1/β)处的曲线芽Gβ。
• 应用普鲁塞定理，将芽分解为不可约分支，并在单值群作用下归入共轭类。
• 将β-共轭识别为Gβ的普鲁塞展开中消去点的倒数。
• 利用fβ(z)在ℚ[X][Y]中的不可约因子的规范分解，推导出ζβ(z)的乘积公式。
• 假设普鲁塞共轭类具有有理系数，并且有限次域扩张L/ℚ成立，将不可约因子πj*与普鲁塞类联系起来。
• 推导出ζβ(z)的乘积公式：v / (Pβ*(z) ⋅ ∏j ∏yi∈Cj (z - 1/β - yi(Pβ*(z))))，其中v = (1 - z^k)^{-1}，k = m或p+1，取决于周期性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过与β的动力zeta函数相关的芽的普鲁塞展开，几何地定义大于1的实代数数β的β-共轭？
• RQ2 芽Gβ的普鲁塞展开的共轭类如何与β的帕里多项式的因式分解相关联？
• RQ3 对于帕里数，动态zeta函数ζβ(z)在普鲁塞展开及其共轭类的结构是怎样的？
• RQ4 在何种条件下，普鲁塞级数系数域L能保证帕里多项式的不可约因子πj*属于ℚ[X][Y]？
• RQ5 β-共轭与伽罗瓦共轭如何共同影响代数数序列在极限过程中在单位圆周上的等分布？

主要发现

• 对于β > 1，β-共轭被重新定义为在(0, 1/β)处的芽Gβ的普鲁塞展开中消去点的倒数。
• 对于帕里数，动态zeta函数ζβ(z)在L-有理共轭类的普鲁塞展开上具有有限乘积公式，其极点位于消去点和伽罗瓦共轭的倒数处。
• L-有理共轭类的个数e满足e = σ < deg β，其中σ是帕里多项式因式分解中不可约因子的个数。
• 帕里多项式的不可约因子πj*可表示为πj*(X) = ∏_{yi∈Cj} (X - 1/β - yi(Pβ*(X)))，至多相差顺序。
• ζβ(z)乘积公式中的单位因子v为(1 - z^k)^{-1}，其中k = m（简单帕里数）或k = p+1（非简单帕里数）。
• fβ(z)的自然边界|z| = 1可能不是所有普鲁塞因子的自然边界，意味着某些分支可能超出fβ(z)的解析性域。