[论文解读] Better Algorithms and Bounds for Directed Maximum Leaf Problems

Noga Alon, Fedor V. Fomin+3 more|ArXiv.org|Jul 7, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文针对强连通有向图中的有向最大叶子出树形问题，提出了改进的算法与组合界。通过利用局部搜索与基于路径宽的结构分析，作者实现了检测具有至少 $k$ 个叶子的出树形的运行时间为 $2^{O(kackslash\log^2 k)} \cdot n^{O(1)}$，并证明了每个最小入度为 3 的强连通有向图中均存在一个出树形，其叶子数至少为 $(n/4)^{1/3} - 1$。

ABSTRACT

The {\sc Directed Maximum Leaf Out-Branching} problem is to find an out-branching (i.e. a rooted oriented spanning tree) in a given digraph with the maximum number of leaves. In this paper, we improve known parameterized algorithms and combinatorial bounds on the number of leaves in out-branchings. We show that \begin{itemize} \item every strongly connected digraph $D$ of order $n$ with minimum in-degree at least 3 has an out-branching with at least $(n/4)^{1/3}-1$ leaves; \item if a strongly connected digraph $D$ does not contain an out-branching with $k$ leaves, then the pathwidth of its underlying graph is $O(k\log k)$; \item it can be decided in time $2^{O(k\log^2 k)}\cdot n^{O(1)}$ whether a strongly connected digraph on $n$ vertices has an out-branching with at least $k$ leaves. \end{itemize} All improvements use properties of extremal structures obtained after applying local search and of some out-branching decompositions.

研究动机与目标

• 为强连通有向图中的有向最大叶子出树形问题开发更快速的固定参数可满足算法。
• 为最小入度为 3 的强连通有向图中出树形的叶子数建立更紧的下界。
• 探讨出树形中叶子数与底层无向图路径宽之间的关系。
• 通过结构分解，将算法结果推广至更广泛的有向图类别，包括无环图与一般有向图。

提出的方法

• 采用局部搜索技术，通过重新配置子树以增加叶子数，迭代改进候选出树形。
• 提出一种基于出树形 $\beta$-分解的新树分解方法，以控制结构复杂度。
• 对有向图的底层无向图应用路径宽分析，推导出参数化时间复杂度界。
• 建立递归路径分解论证，以界定树分解中每一层所诱导子图的路径宽。
• 利用若不存在具有 $k$ 个叶子的出树形，则其底层图的路径宽为 $O(k\backslash\log k)$ 的性质，指导算法设计。
• 通过 $\ell(D) = \max_v \ell_s(D_v)$ 恒等式（其中 $D_v$ 为从顶点 $v$ 可达的子有向图）将结果从强连通有向图推广至无环有向图与一般有向图。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小入度为 3 的强连通有向图中，其出树形的叶子数的最优下界是什么？
• RQ2 有向最大叶子出树形问题的参数化复杂度能否在 $k$ 的指数依赖上超越先前结果？
• RQ3 底层无向图的路径宽与存在具有 $k$ 个叶子的出树形之间有何关系？
• RQ4 为强连通有向图开发的算法技术能否推广至一般有向图？
• RQ5 叶子数的 $\Omega(n^{1/3})$ 下界是否紧致？或可改进为 $\Omega(n^r)$（$r > 1/3$）？

主要发现

• 每个最小入度至少为 3 的 $n$ 阶强连通有向图中，均存在一个出树形，其叶子数至少为 $(n/4)^{1/3} - 1$。
• 若强连通有向图中不包含具有 $k$ 个叶子的出树形，则其底层无向图的路径宽为 $O(k\backslash\log k)$。
• 强连通有向图上的 $k$-DMLOB 问题可在时间 $2^{O(k\backslash\log^2 k)} \cdot n^{O(1)}$ 内求解，优于先前的 $2^{O(k^2\backslash\log k)} \cdot n^{O(1)}$ 界。
• 对于无环有向图，问题可在 $2^{O(k\backslash\log k)} \cdot n^{O(1)}$ 时间内求解，快于强连通情形。
• 算法结果可推广至一般有向图的 $k$-DMLOT 问题（最大叶子出树），具有相同的渐近时间复杂度。
• 存在最小入度为 3 的强连通有向图，其中每个出树形的叶子数至多为 $O(\sqrt{n})$，表明 $n^{1/3}$ 的界在最坏情况下并非紧致。