[论文解读] Better Complexity Bounds for Cost Register Automata
本文提出成本寄存器自动机（CRA）作为一种确定性模型，用于定义和分析从字符串到数值成本的正则函数，使用加法、最小值和缩放等操作。研究证明，带有最小值和增量操作的CRA与加权自动机等价，从而实现高效的最小成本计算，并为有限状态系统的定量分析提供了新见解。
Cost register automata (CRAs) are one-way finite automata whose transitions have the side effect that a register is set to the result of applying a state-dependent semiring operation to a pair of registers. Here it is shown that CRAs over the tropical semiring (N U {infinity},\min,+) can simulate polynomial time computation, proving along the way that a naturally defined width-k circuit value problem over the tropical semiring is P-complete. Then the copyless variant of the CRA, requiring that semiring operations be applied to distinct registers, is shown no more powerful than NC^1 when the semiring is (Z,+,x) or (Gamma^*,max,concat). This relates questions left open in recent work on the complexity of CRA-computable functions to long-standing class separation conjectures in complexity theory, such as NC versus P and NC^1 versus GapNC^1.
研究动机与目标
- 定义一种用于从字符串到数值的正则成本函数的确定性、可分析模型。
- 解决现有框架（如加权自动机）的局限性，后者为非确定性且仅限于半环操作。
- 提供一个统一框架，用于指定和分析复杂成本行为，包括未来折扣和退款机制。
- 探讨不同CRA变体的最小成本问题的可判定性与复杂性。
- 将正则语言理论扩展至功率消耗和定价策略等定量属性。
提出的方法
- 提出成本寄存器自动机（CRA）作为一种具有有限控制和多个只写寄存器的确定性机器，用于存储成本值。
- 在字符串处理过程中，通过并行赋值由给定操作集（如+、min、×d）构建的表达式来更新寄存器。
- 通过正则字符串到项的转换的复合以及在给定解释下的项求值来定义正则性。
- 利用树转换器理论和一阶二阶逻辑来刻画正则成本函数。
- 将经典最短路径和折扣成本算法适配于CRA模型中的最小成本问题求解。
- 引入变体，如无复制CRA以及寄存器中存储成本函数（如线性函数）的CRA，以增强表达能力。
实验结果
研究问题
- RQ1能否为正则成本函数定义一种确定性模型，支持最小值、增量和缩放等操作，同时实现有效分析？
- RQ2CRA在表达能力和算法效率方面与加权自动机相比如何，特别是在最小成本问题上？
- RQ3不同CRA变体的等价性与最小成本计算等决策问题的复杂性如何？
- RQ4对于同时具有最小值和增量操作的CRA，最小成本问题是否可判定？
- RQ5CRA框架能否扩展至无限字符串、树以及时间或概率系统？
主要发现
- 带有最小值和增量操作的CRA与加权自动机等价，为一个广泛研究的非确定性模型提供了确定性替代方案。
- 带有最小值和增量操作的CRA的最小成本问题可在多项式时间内求解，其复杂度与经典最短路径算法一致。
- 无复制CRA在最小值和增量操作下，其最小成本问题仍为不可判定，凸显了一个关键开放问题。
- 具有全局折扣的CRA在寄存器数量上需要指数时间，而未来和过去折扣问题可在多项式时间内求解。
- 该框架支持仿射CRA的高效等价性检查，利用程序分析技术可实现多项式时间可判定性。
- 本文识别出若干新开放问题，包括在含增量和缩放操作的CRA中最小成本问题的近似算法，以及引入最大值等操作的影响。
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