[论文解读] Betti numbers of random real hypersurfaces and determinants of random symmetric matrices

Damien Gayet, Jean-Yves Welschinger|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 50

一句话总结

本文建立了光滑实射影流形中随机实超曲面的期望贝蒂数的渐近上界，表明其随度数的平方根增长。上界依赖于实余维的凯勒体积以及随机实对称矩阵的期望绝对行列式，且随着维数增加，系数在中等维数的贝蒂数附近呈指数衰减。

ABSTRACT

We asymptotically estimate from above the expected Betti numbers of random real hypersurfaces in smooth real projective manifolds. Our upper bounds grow as the square root of the degree of the hypersurfaces as the latter grows to infinity, with a coefficient involving the K\\"ahlerian volume of the real locus of the manifold as well as the expected determinant of random real symmetric matrices of given index. In particular, for large dimensions, these coefficients get exponentially small away from mid-dimensional Betti numbers. In order to get these results, we first establish the equidistribution of the critical points of a given Morse function restricted to the ran- dom real hypersurfaces.

研究动机与目标

• 改进先前关于实射影流形中随机实超曲面期望总贝蒂数的上界。
• 为每个贝蒂数推导出单独的上界，而不仅仅是总和。
• 建立限制在随机实超曲面上的莫尔斯函数临界点的等分布性。
• 将贝蒂数的渐近行为与给定型别的随机实对称矩阵的期望绝对行列式联系起来。
• 表明在高维中，上界系数在远离中等维数贝蒂数时呈指数衰减。

提出的方法

• 作者在实射影流形上高次幂的正线丛的实全纯截面空间上使用高斯概率测度。
• 他们将伪贝蒂数定义为在实超曲面上任意莫尔斯函数的第i个指标临界点的最小数量。
• 他们分析了第i个指标临界点的经验测度，并证明其弱收敛于与凯勒体积形式成比例的密度。
• 关键技术工具是限制在随机实超曲面上的莫尔斯函数临界点的渐近等分布性。
• 通过给定型别对称矩阵的期望绝对行列式 $ e_{\mathbb{R}}(i,n-1-i) $ 来界定期望贝蒂数。
• 分析依赖于随机矩阵理论以及在具有高斯测度的对称矩阵空间上的积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机实超曲面的各个期望贝蒂数如何随实射影流形中超曲面度数的增长而变化？
• RQ2 实余维的凯勒体积在决定贝蒂数渐近增长中的作用是什么？
• RQ3 给定型别的随机实对称矩阵的期望绝对行列式如何影响贝蒂数上界？
• RQ4 随着流形维数的增加，上界中系数在远离中等维数贝蒂数时衰减的程度如何？
• RQ5 当度数趋于无穷时，随机实超曲面上莫尔斯函数的临界点经验分布是否弱收敛于光滑测度？

主要发现

• 当 $ d \to \infty $ 时，期望贝蒂数 $ E(b_i) $ 的增长至多为 $ \frac{1}{\sqrt{\pi}} e_{\mathbb{R}}(i,n-1-i) \mathrm{Vol}_h(\mathbb{R}X) \sqrt{d}^n $，其中系数 $ e_{\mathbb{R}}(i,n-1-i) $ 依赖于型别为 $ (i,n-1-i) $ 的对称矩阵的期望绝对行列式。
• 当 $ n=1 $ 时，该上界变为等式：$ E(b_0) \sim \frac{\mathrm{Length}_h(\mathbb{R}X)}{\sqrt{\pi}} \sqrt{d} $，恢复了科斯塔兰和舒布-斯莫尔对实多项式的结果。
• 系数 $ e_{\mathbb{R}}(i,n-1-i) $ 在高维中呈指数衰减，尤其在远离中等维数贝蒂数时更为显著。
• 当 $ d \to \infty $ 时，随机实超曲面上第i个指标临界点的经验测度弱收敛于 $ \frac{1}{\sqrt{\pi}} e_{\mathbb{R}}(i,n-1-i) \, d\mathrm{vol}_h $ 在 $ \mathbb{R}X $ 上的测度。
• 对 $ p+q \leq 3 $ 的情形显式计算了 $ e_{\mathbb{R}}(p,q) $ 的值，包括 $ e_{\mathbb{R}}(1,0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} $，$ e_{\mathbb{R}}(2,0) = \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1) $，以及 $ e_{\mathbb{R}}(1,1) = \frac{1}{\sqrt{2}} $。
• 结果不依赖于 $ X $ 上归一化体积形式的选择，仅依赖于曲率形式 $ \omega $ 导出的凯勒度量。