[论文解读] Betweenness Centrality : Algorithms and Lower Bounds

Shiva Kintali|ArXiv.org|Sep 11, 2008

Complex Network Analysis Techniques参考文献 38被引用 55

一句话总结

本论文提出了一种随机化并行算法和一种代数方法，用于计算无向图的介数中心性，证明了任何基于路径比较的算法都需要 Ω(nm) 时间。对于无权图，该算法在 O(m) 处理器下实现 O(n log m) 时间复杂度；对于权重为 {1,2,…,M) 内整数的加权图，实现 O(Mn log m) 时间复杂度，建立了下界并推进了大规模网络中高效计算的发展。

ABSTRACT

One of the most fundamental problems in large scale network analysis is to determine the importance of a particular node in a network. Betweenness centrality is the most widely used metric to measure the importance of a node in a network. In this paper, we present a randomized parallel algorithm and an algebraic method for computing betweenness centrality of all nodes in a network. We prove that any path-comparison based algorithm cannot compute betweenness in less than O(nm) time.

研究动机与目标

• 开发用于在大规模网络中计算介数中心性的高效算法，这对于识别社交、生物和通信网络中的关键节点至关重要。
• 为任何基于路径比较的介数中心性计算算法建立理论下界，证明其无法在少于 O(nm) 时间内运行。
• 设计一种随机化并行算法，以 O(n log m) 时间和 O(m) 处理器在无权图上计算依赖度。
• 将该方法扩展至整数边权在 {1,2,…,M} 范围内的加权图，实现 O(Mn log m) 时间复杂度。
• 探索亚立方时间算法的可行性以及对演化网络中介数中心性的动态维护。

提出的方法

• 采用并行依赖度计算策略，按从 n 到 1 的递减距离处理顶点对，对同一距离上的顶点对并行计算依赖度。
• 采用每条边一个处理器的模型，其中每条边根据前驱集合和路径计数计算对依赖度值的贡献。
• 应用定理 1.1（Brandes）从较远的顶点向较近的顶点计算依赖度，实现自底向上的处理。
• 对于无权图，通过在每层距离上最多 n/2 个不相交的顶点对上并行计算总和，该算法在 O(m) 处理器下实现 O(n log m) 时间复杂度。
• 对于整数权重在 {1,2,…,M} 范围内的加权图，通过处理从 1 到 nM 的距离层，将时间复杂度扩展至 O(Mn log m)。
• 使用涉及矩阵乘法和路径计数的代数技术，在 O(n^ω Diam(G)) 时间内计算无权图的介数中心性，其中 ω < 2.376。

实验结果

研究问题

• RQ1 介数中心性能否在亚立方时间或 o(mn) 时间内精确或近似计算？
• RQ2 是否存在一种完全动态算法，能在每次边更新时以 O(n²) 摊销时间复杂度和 O(n²) 空间复杂度维护介数中心性？
• RQ3 当使用 δ-拉伸路径而非最短路径时，介数中心性的计算复杂度是多少？
• RQ4 关于路径比较下界和代数方法的猜想在更广泛的图类中是否依然成立？
• RQ5 能否通过分层或采样策略进一步优化依赖度计算？

主要发现

• 任何基于路径比较的介数中心性算法都需要 Ω(nm) 时间，为该类算法建立了紧致的下界。
• 随机化并行算法在无权图上以 O(m) 处理器实现 O(n log m) 时间复杂度计算依赖度，达到最优工作量和亚对数时间复杂度。
• 对于整数权重在 {1,2,…,M} 范围内的加权图，该算法在 O(m) 处理器下实现 O(Mn log m) 时间复杂度，其复杂度随最大边权增长而扩展。
• 代数方法在无权图上以 O(n^ω Diam(G)) 时间复杂度计算介数中心性，其中 ω < 2.376 为矩阵乘法指数。
• 该算法通过将最终中心性得分除以二，正确处理了无向图的对称性，避免了重复计数。
• 论文证明了边的删除可能显著改变介数值，如 C_{4k+1} 环的例子所示，其中中心性从 k² 变为非均匀分布。