[论文解读] Beyond Bidimensionality: Parameterized Subexponential Algorithms on Directed Graphs

Frederic Dorn, Fedor V. Fomin+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文首次为有向图上的基础问题提出了参数化亚指数时间算法，采用新颖的技术组合，结合核化、基于树宽的动态规划以及Baker型分层方法。对于底层无向图排除固定尖点图作为子式的有向图，该方法在 $k$-Leaf Out-Branching 和 $k$-Internal Out-Branching 问题上实现了 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ 的时间复杂度，将亚指数参数化算法的适用范围从无向图和双维性理论拓展至有向图。

ABSTRACT

We develop two different methods to achieve subexponential time parameterized algorithms for problems on sparse directed graphs. We exemplify our approaches with two well studied problems. For the first problem, {\sc $k$-Leaf Out-Branching}, which is to find an oriented spanning tree with at least $k$ leaves, we obtain an algorithm solving the problem in time $2^{O(\sqrt{k} \log k)} n+ n^{O(1)}$ on directed graphs whose underlying undirected graph excludes some fixed graph $H$ as a minor. For the special case when the input directed graph is planar, the running time can be improved to $2^{O(\sqrt{k})}n + n^{O(1)}$. The second example is a generalization of the {\sc Directed Hamiltonian Path} problem, namely {\sc $k$-Internal Out-Branching}, which is to find an oriented spanning tree with at least $k$ internal vertices. We obtain an algorithm solving the problem in time $2^{O(\sqrt{k} \log k)} + n^{O(1)}$ on directed graphs whose underlying undirected graph excludes some fixed apex graph $H$ as a minor. Finally, we observe that for any $ε>0$, the {\sc $k$-Directed Path} problem is solvable in time $O((1+ε)^k n^{f(ε)})$, where $f$ is some function of $\ve$. Our methods are based on non-trivial combinations of obstruction theorems for undirected graphs, kernelization, problem specific combinatorial structures and a layering technique similar to the one employed by Baker to obtain PTAS for planar graphs.

研究动机与目标

• 将亚指数参数化算法从无向图扩展至有向图，突破双维性理论的局限。
• 开发适用于有向图的新算法技术，这些图的图极小化理论尚不成熟。
• 在稀疏有向图上以亚指数时间求解 $k$-Leaf Out-Branching 和 $k$-Internal Out-Branching 问题。
• 证明在底层图排除固定尖点图为子式的有向图上，亚指数算法是可行的。

提出的方法

• 应用核化技术将输入缩减为大小为亚线性且树宽有界的实例。
• 采用受Baker针对平面图的PTAS启发的分层技术，将图分解为树宽有界的子图。
• 利用 $H$-minor-free 图的网格极小化定理，以参数 $k$ 表示树宽的上界。
• 通过在树宽为 $\mathcal{O}(\sqrt{k})$ 的树分解上使用动态规划，构建候选子图集合。
• 结合核化与有界树宽子图上的动态规划，实现亚指数时间复杂度。
• 在 $H$-minor-free 图中使用常数因子近似算法高效计算树分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在双维性理论适用范围之外，为有向图问题开发亚指数参数化算法？
• RQ2 是否可能在底层图为 $H$-minor-free 的有向图上实现 $k$-Leaf Out-Branching 问题的亚指数时间复杂度？
• RQ3 能否在底层图排除固定尖点图为子式的有向图上，以亚指数时间求解 $k$-Internal Out-Branching 问题？
• RQ4 在缺乏成熟有向图极小化理论的背景下，可采用哪些技术将亚指数算法推广至有向图？

主要发现

• 在底层图为 $H$-minor-free 的有向图上，$k$-Leaf Out-Branching 问题存在 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}n^{\mathcal{O}(1)}$ 时间复杂度的算法。
• 对于平面有向图，由于更强的结构约束，运行时间可进一步优化至 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k})}n^{\mathcal{O}(1)}$。
• 在底层图为 $H$-minor-free 的有向图上，$k$-Internal Out-Branching 问题可在 $2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)}+n^{\mathcal{O}(1)}$ 时间内求解，其中 $H$ 为一个尖点图。
• 对于任意 $\varepsilon > 0$，$k$-Directed Path 问题可在 $\mathcal{O}((1+\varepsilon)^k n^{f(\varepsilon)})$ 时间内求解，适用于底层图为 $H$-minor-free 的图。
• 所提出的方法结合了核化、基于树宽的动态规划以及Baker型分层技术，成功在有向图上实现亚指数时间复杂度。