[论文解读] Beyond Distance: Quantifying Point Cloud Dynamics with Persistent Homology and Dynamic Optimal Transport

Yixin Wang, Ting Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2026

Topological and Geometric Data Analysis被引用 0

一句话总结

该论文将拓扑最优传输扩展到动态点云，通过在测地线处重建超图并引入多尺度畸变和基于熵的 tipping 指标来检测转折事件。

ABSTRACT

We introduce a framework for analyzing topological tipping in time-evolutionary point clouds by extending the recently proposed Topological Optimal Transport (TpOT) distance. While TpOT unifies geometric, homological, and higher-order relations into one metric, its global scalar distance can obscure transient, localized structural reorganizations during dynamic phase transitions. To overcome this limitation, we present a hierarchical dynamic evaluation framework driven by a novel topological and hypergraph reconstruction strategy. Instead of directly interpolating abstract network parameters, our method interpolates the underlying spatial geometry and rigorously recomputes the valid topological structures, ensuring physical fidelity. Along this geodesic, we introduce a set of multi-scale indicators: macroscopic metrics (Topological Distortion and Persistence Entropy) to capture global shifts, and a novel mesoscopic dual-perspective Hypergraph Entropy (node-perspective and edge-perspective) to detect highly sensitive, asynchronous local rewirings. We further propagate the cycle-level entropy change onto individual vertices to form a point-level topological field. Extensive evaluations on physical dynamical systems (Rayleigh-Van der Pol limit cycles, Double-Well cluster fusion), high-dimensional biological aggregation (D'Orsogna model), and longitudinal stroke fMRI data demonstrate the utility of combining transport-based alignment with multi-scale entropy diagnostics for dynamic topological analysis.

研究动机与目标

• 在不丢失局部几何/拓扑细节的前提下，激励检测随时间演化的点云中的拓扑 tipping。
• 通过在插值测地线处重建有效的拓扑/超图结构，将 TpOT 扩展为处理动态演化。
• Develop 多尺度指示器（宏观和中观）以检测全局转变与异步局部重新连线。
• 为提出的畸变和熵度量提供理论保证，并在多个领域验证。

提出的方法

• 利用几何（核函数 k）、拓扑（持久性图）和关系性（omega）等构建点云的度量拓扑网络。
• 在两网络之间对几何、拓扑及超边关系计算最优耦合以得到 TpOT 距离。
• 通过在 TpOT 流形上重新计算拓扑并使用重建确保物理有效性，在 TpOT 流线沿线上引入动态图畸变曲线。
• 提出持久熵和超图熵（顶点视角与边视角）及对称组合以检测拓扑事件。
• 将循环层面的熵变传播到单个顶点，形成点级拓扑场。
• 给出算法与理论结果，表明对持续特征的敏感性及上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何扩展 TpOT 以揭示点云在动态相变过程中瞬态几何与拓扑变化？
• RQ2 在点云演化状态之间进行插值时，是否有保持物理保真性的超图重建策略？
• RQ3 哪些多尺度熵度量能稳健检测拓扑 tipping 与异步局部重新连线？
• RQ4 TpOT 路径上的动态畸变如何与全局转变及局部结构重组相关？
• RQ5 所提出的基于熵的指标及其与拓扑复杂性之间的关系有哪些理论保证？

主要发现

• 动态图畸变曲线在插值路径上局部化几何、拓扑与关系的变形。
• 持久熵与超图熵的引入能够检测到突发的拓扑事件与重组。
• 顶点与超边视角熵提供敏感、计算高效的指标，并具有理论界限。
• 对称的超图熵将顶点与超边视角结合起来，用于标记离散的拓扑相变。
• 超图熵受系统的拓扑容量（如持久特征数量）的上界约束。
• 在 Rayleigh–Van der Pol、双井、D’Orsogna 模型及中风 fMRI 的经验验证显示出有效性。