[论文解读] Beyond endoscopy for the Symmetric Cube L-function and the Shimura Correspondence

P. Edward Herman|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 27被引用 1

一句话总结

本文通过研究与元刻形式相关的立方狄利克雷级数，将志村的对应关系推广至 GL₂ 的立方覆叠，利用兰兰茨的超越端息框架与解析数论，实现了非平凡的解析延拓。该级数在 Re(s) > 9/7 + ε 范围内亚纯延拓，当 f 为残余 Eisenstein 系列时，至多在 s = 3/2 处有一个极点，其关键在于建立了立方指数和与 Kloosterman 和之间联系的恒等式。

ABSTRACT

In this paper we study the analytic properties of a certain cubic Dirichlet series associated to a metaplectic form $f$ over the cubic cover of $GL_2.$ Such a sum generalizes the work of Shimura in studying a similar quadratic Dirichlet series for a half-weight modular form $f.$ Shimura connects the analytic properties of his Dirichlet series to the L-function of a holomorphic modular form via a converse theorem. This connection, and its higher cover generalizations, has been given the name: Shimura's correspondence. Even assuming Shimura's correspondence for the cubic cover of $GL_2,$ the analytic properties of our cubic Dirichlet series are intractable. However, using Langlands's beyond endoscopy idea and analytic number theory, we get nontrivial analytic continuation of the series. Specifically, we obtain an asymptotic for a spectral sum of these cubic Dirichlet series plus an error term. Assuming a certain uniformity hypothesis we can get analytic properties of an individual cubic Dirichlet series of a metaplectic form. In particular we show the cubic series has analytic continuation to $\Re(s)>\frac{9}{7}+\epsilon,$ for any $\epsilon$ with at most a pole at $s=\frac{3}{2}$ if the metaplectic form $f$ is the residual Eisenstein series. A key tool needed in studying this series is an identity relating cubic exponential sums to Kloosterman sums. While we do not make a traditional trace formula comparison in this paper, this very same identity is crucial to the fundamental lemma in work of Mao and Rallis.

研究动机与目标

• 通过研究与元刻形式相关的立方狄利克雷级数的解析性质，将志村的对应关系从二次覆叠推广至 GL₂ 的立方覆叠。
• 通过采用兰兰茨的超越端息计划，克服在标准假设下此类级数解析延拓的不可处理性。
• 利用谱和渐近公式与一致性假设，建立立方狄利克雷级数的非平凡解析延拓。
• 推导出一个关键恒等式，将立方指数和与 Kloosterman 和联系起来，该恒等式对 Mao 和 Rallis 相关工作中基本引理的成立至关重要。

提出的方法

• 利用兰兰茨的超越端息思想，绕过传统内播方法，分析立方狄利克雷级数。
• 应用解析数论技术，为立方狄利克雷级数的谱和导出一个带有误差项的渐近公式。
• 采用一种新颖的恒等式，将立方指数和与 Kloosterman 和联系起来，从而实现对级数更深层次的解析控制。
• 施加一致性假设，从谱和的行为推导出立方狄利克雷级数的个体解析性质。
• 利用 GL₂ 的立方覆叠上元刻形式的结构，定义并研究相关的 L-函数类级数。
• 借鉴志村关于半整权模形式理论的已知结果，作为基础类比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在标准内播方法之外，建立与 GL₂ 的立方覆叠上元刻形式相关的立方狄利克雷级数的解析延拓？
• RQ2 立方狄利克雷级数的谱和如何渐近表现？这对单个级数意味着什么？
• RQ3 将立方指数和与 Kloosterman 和联系起来的恒等式在级数的解析结构中起什么作用？
• RQ4 在何种条件下，立方狄利克雷级数具有极点，其位置在哪里？
• RQ5 一致性假设如何实现从谱信息到单个级数的传递？

主要发现

• 与 GL₂ 的立方覆叠上元刻形式相关的立方狄利克雷级数，对任意 ε > 0，可在 Re(s) > 9/7 + ε 范围内实现解析延拓。
• 若元刻形式 f 为残余 Eisenstein 系列，则该级数至多在 s = 3/2 处有一个极点。
• 立方狄利克雷级数的谱和具有一个误差项受控的渐近展开式。
• 一个关键恒等式将立方指数和与 Kloosterman 和联系起来，这对级数的解析控制至关重要。
• 该恒等式在 Mao 和 Rallis 关于立方覆叠工作的基本引理中也起到关键作用。
• 所有结果均在一致性假设下得出，若该假设成立，将能获得该级数强个体解析性质。