[论文解读] Beyond formulas-as-cographs: an extension of Boolean logic to arbitrary graphs

Cameron Calk, Anupam Das+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了布尔图逻辑（BGL），一种经典布尔逻辑的图论扩展，将公式推广至任意图，采用布尔关系实现多值语义。该研究确立了BGL的复杂度（评估为NP完全，推理为Π²ₚ完全），给出了博弈论表征，并构建了一套类深度推理的公理化系统，表明其避开了已知的布尔逻辑线性公理化限制的不可能定理。

ABSTRACT

We propose a graph-based extension of Boolean logic called Boolean Graph Logic (BGL). Construing formula trees as the cotrees of cographs, we may state semantic notions such as evaluation and entailment in purely graph-theoretic terms, whence we recover the definition of BGL. Naturally, it is conservative over usual Boolean logic. Our contributions are the following: (1) We give a natural semantics of BGL based on Boolean relations, i.e. it is a multivalued semantics, and show adequacy of this semantics for the corresponding notions of entailment. (2) We show that the complexity of evaluation is NP-complete for arbitrary graphs (as opposed to ALOGTIME-complete for formulas), while entailment is $Π^p_2$-complete (as opposed to coNP-complete for formulas). (3) We give a 'recursive' algorithm for evaluation by induction on the modular decomposition of graphs. (Though this is not polynomial-time, cf. point (2) above). (4) We characterise evaluation in a game-theoretic setting, in terms of both static and sequentical strategies, extending the classical notion of positional game forms beyond cographs. (5) We give an axiomatisation of BGL, inspired by deep-inference proof theory, and show soundness and completeness for the corresponding notions of entailment. One particular feature of the graph-theoretic setting is that it escapes certain no-go theorems such as a recent result of Das and Strassburger, that there is no linear axiomatisation of the linear fragment of Boolean logic (equivalently the multiplicative fragment of Japaridze's Computability Logic or Blass' game semantics for Mutliplicative Linear Logic).

研究动机与目标

• 开发一种基于图的布尔逻辑推广，超越弦图（cographs），将公式的语义推广至任意图。
• 基于布尔关系提供一种多值语义，实现比经典布尔逻辑更丰富的推理关系。
• 分析BGL中评估与推理的计算复杂度，表明其复杂度显著高于标准布尔逻辑。
• 在非弦图限制下，通过静态与顺序策略扩展博弈论对评估的表征，超越位置博弈形式。
• 构建一个可靠且完备的类深度推理公理化系统，避免限制线性公理化的结构规则。

提出的方法

• 将图语义解释为布尔关系，通过关系满足而非布尔函数分配真值。
• 利用图论概念（如余树、模块分解与共现结构）定义评估与推理。
• 使用模块分解递归评估BGL公式，尽管整体评估仍为NP完全。
• 在博弈论框架中引入静态与顺序策略，以表征评估，将位置博弈形式推广至非弦图。
• 设计类深度推理的证明系统，其规则支持局部重写与结构灵活性。
• 证明该证明系统相对于图上定义的语义推理关系具有可靠性和完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 布尔逻辑能否在有意义地超越公式（即弦图）的范围内，推广至任意图，同时保持逻辑结构与语义？
• RQ2 此类推广逻辑的评估与推理的计算复杂度为何？与经典布尔逻辑相比有何不同？
• RQ3 能否在非弦图限制下，使用博弈论策略（包括静态与顺序策略）表征评估？
• RQ4 是否存在一个可靠且完备的证明系统，可避免先前线性公理化结果的限制？
• RQ5 该框架能否避开已知的不可能定理（如布尔逻辑线性片段的不可公理化性）？

主要发现

• BGL中的评估在任意图上为NP完全，与经典布尔逻辑中公式为ALOGTIME完全形成对比。
• BGL中的推理为Π²ₚ完全，相比标准布尔逻辑中推理的coNP完全，复杂度显著提升。
• 本文提出一种基于模块分解的递归评估算法，但由于固有复杂度，无法获得多项式时间解法。
• 通过静态与顺序策略，建立了评估的博弈论表征，将经典位置博弈形式推广至非弦图。
• 构建了一个类深度推理的证明系统，并证明其在BGL中可靠且完备，提供了新颖的证明理论基础。
• BGL避开了Das与Strassburger关于布尔逻辑线性片段不可公理化的不可能定理，表明在图基设定下可能存在线性公理化。