[论文解读] Beyond Level Planarity

Patrizio Angelini, Giordano Da Lozzo+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文证明了循环层次平面性和环面层次平面性是多项式时间可解的，解决了图绘制领域中两个长期悬而未决的开放问题。作者提出了一种基于归约的方法，将同时层次平面性实例转化为循环层次平面性问题，从而为特定情况（包括边方向相反的两层图）提供了高效算法。

ABSTRACT

In this paper we settle the computational complexity of two open problems related to the extension of the notion of level planarity to surfaces different from the plane. Namely, we show that the problems of testing the existence of a level embedding of a level graph on the surface of the rolling cylinder or on the surface of the torus, respectively known by the name of $ extit{Cyclic Level Planarity}$ and $ extit{Torus Level Planarity}$, are polynomial-time solvable. Moreover, we show a complexity dichotomy for testing the $ extit{Simultaneous Level Planarity}$ of a set of level graphs, with respect to both the number of level graphs and the number of levels.

研究动机与目标

• 为解决图绘制领域中循环层次平面性和环面层次平面性的计算复杂性问题。
• 建立关于层次图数量和层次数的同步层次平面性的复杂性二分法。
• 将层次平面性的概念扩展到平面以外的曲面，特别是卷曲圆柱面和环面。
• 为在卷曲圆柱面和环面曲面上测试层次嵌入提供多项式时间算法。
• 引入并分析一种多个层次图在相同曲面上的同步层次平面性新变体。

提出的方法

• 通过反转其中一个图的边方向，将两个图在两层上的同步层次平面性实例归约为单个循环层次平面性实例。
• 构建一个合适的层次图，使得一个图的边从第1层指向第2层，另一个图的边从第2层指向第1层，形成循环结构。
• 通过归约到循环层次平面性，利用现有卷曲圆柱面的多项式时间算法。
• 通过在卷曲圆柱面上的拓扑嵌入变换，证明同步层次平面性与循环层次平面性的等价性。
• 对变换后的实例应用已知的线性时间层次平面性算法，确保多项式时间可解性。
• 将该框架扩展至证明：增加一个额外层次后连通性可被保持，且几何和固定边的同步嵌入也具有可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 循环层次平面性（即在卷曲圆柱面上测试层次平面性）是否具有计算上的可解性？
• RQ2 环面层次平面性（即在环面曲面上的层次平面性变体）是否可在多项式时间内判定？
• RQ3 当以层次图数量和层次数为参数时，同步层次平面性的计算复杂性如何？
• RQ4 对于两层图的同步层次平面性问题，是否能高效求解，特别是当边在层次间呈相反方向流动时？
• RQ5 是否存在对 genus 大于一的曲面的层次平面性有意义的推广？此类框架如何形式化？

主要发现

• 循环层次平面性是多项式时间可解的，解决了图绘制领域中一个长期悬而未决的开放问题。
• 环面层次平面性同样为多项式时间可解，表明层次平面性可高效扩展至环面曲面。
• 从两个图在两层上的同步层次平面性问题到循环层次平面性的归约，实现了二次时间复杂度的算法。
• 同步层次平面性问题表现出复杂性二分：当层次数或图数有界时为多项式时间可解，否则为 NP-难。
• 所提出的归约在增加一个额外层次后仍保持连通性，并可推广至几何和固定边的同步嵌入。
• 结果表明，卷曲圆柱面和环面上的层次平面性可于四次方时间内测试，尽管更紧的复杂度上界仍是开放挑战。