[论文解读] Beyond Lorentzian Symmetry

Ross Grassie|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Advanced Differential Geometry Research被引用 4

一句话总结

本论文提出了一套全面的框架，用于在三维空间中分类运动学代数、超运动学代数和超Bargmann对称性，采用代数与几何方法推导不变联络、 soldering 形式和 vierbeins。该研究识别出 43 个 $\mathcal{N}=1$ 李超代数的同构类，27 个同胚的 $(4|4)$-维超空间，以及在 $\mathcal{N}=1$ 超Bargmann情形下有 9 个同构类，在 $\mathcal{N}=2$ 情形下有 22 个分支，揭示了通过收缩程序连接不同时空的几何极限网络。

ABSTRACT

This thesis presents a framework in which to explore kinematical symmetries beyond the standard Lorentzian case. This framework consists of an algebraic classification, a geometric classification, and a derivation of the geometric properties required to define physical theories on the classified spacetime geometries. The work completed in substantiating this framework for kinematical, super-kinematical, and super-Bargmann symmetries constitutes the body of this thesis. To this end, the classification of kinematical Lie algebras in spatial dimension $D = 3$, as presented in [3, 4], is reviewed; as is the classification of spatially-isotropic homogeneous spacetimes of [5]. The derivation of geometric properties such as the non-compactness of boosts, soldering forms and vielbeins, and the space of invariant affine connections is then presented. We move on to classify the $\mathcal{N}=1$ kinematical Lie superalgebras in three spatial dimensions, finding 43 isomorphism classes of Lie superalgebras. Once these algebras are determined, we classify the corresponding simply-connected homogeneous (4|4)-dimensional superspaces and show how the resulting 27 homogeneous superspaces may be related to one another via geometric limits. Finally, we turn our attention to generalised Bargmann superalgebras. In the present work, these will be the $\mathcal{N}=1$ and $\mathcal{N}=2$ super-extensions of the Bargmann and Newton-Hooke algebras, as well as the centrally-extended static kinematical Lie algebra, of which the former three all arise as deformations. Focussing solely on three spatial dimensions, we find $9$ isomorphism classes in the $\mathcal{N}=1$ case, and we identify $22$ branches of superalgebras in the $\mathcal{N}=2$ case.

研究动机与目标

• 开发一个统一的代数与几何框架，用于分类标准洛伦兹情形之外的运动学对称性。
• 系统性地分类三维空间中 $\mathcal{N}=1$ 与 $\mathcal{N}=2$ 运动学李超代数。
• 在所得时空几何上推导几何结构，如 soldering 形式、vierbeins 与不变仿射联络。
• 通过收缩程序探索连接不同时空的几何极限。
• 将分类扩展至超Bargmann代数，包括中心扩张的静态与形变代数。

提出的方法

• 基于 Figueiroa-O’Farrill 等人的前期工作，对 $D=3$ 中的运动学李代数进行代数分类。
• 应用几何方法，在同胚时空中推导不变联络、soldering 形式与 vierbeins。
• 利用李群上的指数坐标构造时空几何的局部模型。
• 从识别出的李超代数分类单连通的同胚 $(4|4)$-维超空间。
• 应用收缩程序，推导不同时空之间的几何极限，包括平坦、非相对论性与超相对论性极限。
• 通过静态代数与运动学代数的形变与中心扩张分析广义Bargmann超代数的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在三维空间中系统性地分类超越洛伦兹对称性的运动学对称性？
• RQ2 $\mathcal{N}=1$ 与 $\mathcal{N}=2$ 李超代数在 3+1 维中的完整同构类是什么？它们如何与物理时空几何相关联？
• RQ3 几何极限（如平坦、非相对论性与超相对论性收缩）如何连接不同的运动学时空？
• RQ4 不变几何结构（如 soldering 形式与 vierbeins）在定义这些分类时空上的物理理论中起什么作用？
• RQ5 超Bargmann代数（包括中心扩张与形变变体）如何融入运动学对称性的整体分类中？

主要发现

• 本论文识别出 43 个三维空间中 $\mathcal{N}=1$ 运动学李超代数的同构类。
• 分类出由这些超代数产生的 27 个同胚 $(4|4)$-维超空间，并通过几何极限建立其关联。
• 在 $\mathcal{N}=1$ 超Bargmann代数分类中发现 9 个同构类，在 $\mathcal{N}=2$ 情形下发现 22 个不同分支。
• 该框架成功推导出分类时空上物理理论所必需的几何性质，如洛伦兹提升的非紧性与不变仿射联络。
• 收缩极限揭示了时空之间统一的关联网络，包括平坦极限（$\text{dS} \to \mathbb{M}$，$\text{AdS} \to \mathbb{M}$，$S \to \mathbb{E}$，$H \to \mathbb{E}$）与非相对论性极限（$\text{dS} \to \text{dSG}$，$\text{AdS} \to \text{AdSG}$）。
• $\mathcal{N}=1$ 超代数的超相对论性极限导致一个非有效李对，对应于与静态几何相关的阿基米德时空。