[论文解读] Beyond Ohba's Conjecture: A bound on the choice number of $k$-chromatic graphs with $n$ vertices

Jonathan A. Noel, Douglas B. West+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文建立了 $k$-色图在 $n$ 个顶点下的选择数的新上界，表明 $\text{ch}(G) \leq \max\left\{k, \left\lceil \frac{n + k - 1}{3} \right\rceil \right\}$。该上界推广了 Ohba 的猜想，并在 $n \leq 3k$ 时是紧的，优于此前对完全多部图如 $K_{4*k}$ 和 $K_{5*k}$ 的估计。

ABSTRACT

Let $ ext{ch}(G)$ denote the choice number of a graph $G$ (also called "list chromatic number" or "choosability" of $G$). Noel, Reed, and Wu proved the conjecture of Ohba that $ ext{ch}(G)=χ(G)$ when $|V(G)|\le 2χ(G)+1$. We extend this to a general upper bound: $ ext{ch}(G)\le \max\{χ(G),\lceil({|V(G)|+χ(G)-1})/{3} ceil\}$. Our result is sharp for $|V(G)|\le 3χ(G)$ using Ohba's examples, and it improves the best-known upper bound for $ ext{ch}(K_{4,\dots,4})$.

研究动机与目标

• 将 Ohba 的猜想扩展至更广泛的图类，该猜想指出当 $|V(G)| \leq 2\chi(G) + 1$ 时，有 $\text{ch}(G) = \chi(G)$。
• 确定在 $n > 2k + 1$ 时，$k$-色图在 $n$ 个顶点下的最大可能选择数。
• 改进对完全 $k$-部图的选择数的已知上界，特别是对 $m \geq 4$ 的 $K_{m*k}$。
• 建立一个在 $n \leq 3k$ 时为紧的通用上界，并适用于稀疏与稠密图族。

提出的方法

• 作者采用极值图论方法，聚焦于完全 $k$-部图，因其在固定 $k$ 和 $n$ 时使选择数最大化。
• 他们应用 Hall 定理，为合并后的顶点和部分所分配的颜色列表构造一组相异代表系（SDR）。
• 关键技巧在于在三部分和四部分中定义“好对”，并利用列表交集大小以确保足够的颜色可用性。
• 证明通过按部分大小分情况讨论，并利用早期引理中的结构约束来验证 Hall 条件。
• 他们定义了合并后的顶点以及集合 $Z_3$、$Z_4$ 和 $Z_3'$，以控制列表大小并确保列表并集条件成立。
• 该方法依赖于双重计数及由总颜色数和列表大小导出的不等式，特别是 $|L(u) \cap L(v)|$ 对于部分内成对顶点的值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n > 2k + 1$ 时，$k$-色图在 $n$ 个顶点下的最大可能选择数是多少？
• RQ2 Ohba 的猜想能否被扩展为超越 $n \leq 2k + 1$ 的一般上界？
• RQ3 对 $m \geq 4$ 的 $\text{ch}(K_{m*k})$，目前已知的最紧上界是什么？
• RQ4 部分大小为 $m$ 和 $1$ 的完全 $k$-部图是否是在 $k$-色 $n$-顶点图中使选择数最大的图？

主要发现

• 本文建立了对任意具有 $n$ 个顶点和色数 $k$ 的图 $G$，有 $\text{ch}(G) \leq \max\left\{k, \left\lceil \frac{n + k - 1}{3} \right\rceil \right\}$。
• 当 $n \leq 3k$ 时，该上界是紧的，特别是当 $n - k$ 为偶数时，与 Ohba 的已知极值例子一致。
• 对于 $K_{4*k}$，该上界将先前的估计 $\left\lceil \frac{7k}{4} \right\rceil$ 改进为 $\left\lceil \frac{5k - 1}{3} \right\rceil$。
• 对于 $K_{5*k}$，该上界给出 $\text{ch}(K_{5*k}) \leq 2k$，优于先前的估计。
• 对于 $K_{6*k}$，该上界给出 $\text{ch}(K_{6*k}) \leq \left\lceil \frac{7k - 1}{3} \right\rceil$，比早期结果更紧。
• 通过使用 $2k - 1$ 种颜色的下界构造，得到 $\text{ch}(K_{m*k}) \geq \left\lfloor \frac{2k(m - 1)}{m} \right\rfloor - 1$，提供了一个接近紧致的基准。