[论文解读] Beyond pair correlation

Hugh L. Montgomery, K. Soundararajan|ArXiv.org|Mar 27, 2000

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 28

一句话总结

本文通过证明在短区间内素数计数函数的方差更优地由一个包含欧拉常数和 log(2π) 的修正项预测，而非克伦纳模型或原始的成对相关性预测，从而改进了素数的成对相关性猜想。在 X = 10^10 和 h = 10^5 的数值证据表明，二阶矩为 9.066 × 10^5，与新的理论预测值 9.098 × 10^5 非常接近，表明孪生素数常数估计中的误差项存在微妙抵消。

ABSTRACT

The authors study the distribution of psi(x+h)-psi(x)-h and compare it with numerical data.

研究动机与目标

• 解决克伦纳模型与数值数据在 π(x+h)−π(x)−h 方差上的差异。
• 通过推导素数计数函数在短区间内二阶矩的更精确渐近公式，改进成对相关性猜想。
• 解释为何观测到的方差（9.066×10^5）显著小于克伦纳预测值（23.02×10^5）和原始成对相关性预测值（11.51×10^5）。
• 基于哈代-李特尔伍德 k-元组猜想的奇异级数，为观测到的数值行为提供理论依据。

提出的方法

• 推导 ∑_{k=1}^h (h−k)S(k) 的渐近展开，其中 S(k) 是哈代-李特尔伍德 k-元组猜想中的奇异级数。
• 使用解析数论技术，包括狄利克雷级数和围道积分，计算涉及 S(k) 的和。
• 应用黎曼ζ函数的函数方程和斯特林公式，估算临界线上ζ函数的积分。
• 通过计算 s=1 和 s=0 处的留数，提取主项 K²/2 和 −K log K/(2A)，从而得出常数 A = (1−C₀−log 2π)/2。
• 考虑在黎曼猜想下带余项的素数定理的误差项，并通过切萨罗权重估计其贡献。
• 将理论预测与 X=10^10 和 h=10^5 的数值数据进行对比，比较矩和分布形状。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在短区间内 π(x+h)−π(x)−h 的观测方差显著小于克伦纳模型和原始成对相关性预测？
• RQ2 克伦纳模型与数值数据之间的差异是否可通过包含奇异级数 S(k) 的改进渐近公式加以解释？
• RQ3 π(x+h)−π(x)−h 的二阶矩渐近展开中的精确常数项是什么？它如何优于先前的预测？
• RQ4 孪生素数常数估计中的误差项在 k 上求和时在多大程度上发生抵消？这对最终方差有何影响？

主要发现

• 在 X=10^10 和 h=10^5 时，π(x+h)−π(x)−h 的二阶矩在数值上被发现为 9.066×10^5。
• 新理论预测值（包含常数 B = −C₀ − log(2π) ≈ −2.41509）为 9.098×10^5，与数据的匹配程度优于克伦纳模型（23.02×10^5）和原始成对相关性预测（11.51×10^5）。
• 分布的归一化矩接近正态分布，第六矩（15.5288）略高于正态分布的值（15），表明尾部略为更重。
• 观测到的最大偏差为均值上方 5.30 个标准差，出现在 x=9559758537，正态模型下概率为 0.00577。
• 最小偏差为 −5.17 个标准差，出现在 x=5116809527，正态分布下概率为 0.01163。
• 满足 |π(x+h)−π(x)−h| > 3000 的点数为 3,080,882 个，少于正态分布预测值的五分之一，表明大偏差出现的频率低于正态预测。