[论文解读] Beyond Pairwise Comparisons in Social Choice: A Setwise Kemeny Aggregation Problem

Hugo Gilbert, Tom Portoleau+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出了Kemeny规则的k重推广，用于排名聚合，其中共识排名最小化在大小不超过k的所有备选项子集上对前选的不一致。该文提出了一种2-近似算法，其实际性能远优于理论最坏情况；并提出了k重多数图，以实现高效预处理和最多18名候选人的精确计算。

ABSTRACT

In this paper, we advocate the use of setwise contests for aggregating a set of input rankings into an output ranking. We propose a generalization of the Kemeny rule where one minimizes the number of k-wise disagreements instead of pairwise disagreements (one counts 1 disagreement each time the top choice in a subset of alternatives of cardinality at most k differs between an input ranking and the output ranking). After an algorithmic study of this k-wise Kemeny aggregation problem, we introduce a k-wise counterpart of the majority graph. This graph reveals useful to divide the aggregation problem into several sub-problems, which enables to speed up the exact computation of a consensus ranking. By introducing a k-wise counterpart of the Spearman distance, we also provide a 2-approximation algorithm for the k-wise Kemeny aggregation problem. We conclude with numerical tests.

研究动机与目标

• 解决基于成对比较的聚合规则在捕捉超越二元比较的集体偏好方面的局限性。
• 形式化一类基于集合竞赛（候选者子集上的多数支持）的新社会福利函数。
• 将Kemeny规则推广至k重不一致，实现超越成对比较的更细致共识排名。
• 开发用于精确与近似计算k重Kemeny共识排名的高效算法。
• 评估所提出的2-近似算法的实际性能及其与k值和偏好相关性的关系。

提出的方法

• 将k重不一致计数定义为：在大小至多为k的子集S中，输入排名与输出排名在S内前选不同的子集数量。
• 引入一种k重多数图变体，其中边表示在大小≤k的子集中候选者之间的相对多数支持。
• 采用动态规划方法精确计算k重Kemeny得分，利用k重多数图进行预处理。
• 提出一种基于最小化k重Spearman距离变体的2-近似算法。
• 利用Diaconis-Graham不等式推导出理论最坏情况下的近似比为2。
• 在通过Mallows模型生成的合成数据上实现并评估该算法，使用SciPy的线性和分配算法以提高效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 k重Kemeny规则的推广能否通过捕捉超越成对比较的集体偏好来改善共识排名？
• RQ2 对于k ≥3，基于k重Kemeny规则计算共识排名的计算复杂度如何？
• RQ3 如何构建并利用k重多数图以加速k重Kemeny共识的精确计算？
• RQ4 所提出的2-近似算法的实际近似比是多少？其随k值和偏好相关性的变化趋势如何？
• RQ5 在真实世界偏好数据中，k重Kemeny规则能否缓解Condorcet一致性与多数支持之间的张力？

主要发现

• 对于任意k ≥3，k重Kemeny聚合问题为NP难，扩展了已知的标准Kemeny规则的难解性。
• 所提出的2-近似算法保证最坏情况下的近似比为2，该结果基于k重Spearman距离变体与Diaconis-Graham不等式推导得出。
• 在实际应用中，近似比始终远优于2，50个测试实例中观察到的最差比值仅为1.04。
• 当偏好相关性更高（Mallows模型中φ值更低）且k值更大时，实际性能得到改善，近似比的箱线图显示了这一趋势。
• 在50名选民和12名候选人的场景下，使用标准库时算法运行时间低于12毫秒，展现出强大的实际效率。
• k重多数图支持有效的预处理并缩小了搜索空间，使得最多18名候选人的精确计算成为可能。