[论文解读] Beyond the Birkhoff Polytope: Convex Relaxations for Vector Permutation Problems

Cong Han Lim, Stephen J. Wright|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于戈麦斯（Goemans）对单纯形多面体（permutahedron）的紧凑凸松弛方法，用于向量排列问题，理论上将变量和约束从 Θ(n²) 减少至 Θ(n log n)，实践中则为 Θ(n log² n)。将该方法应用于 2-SUM 问题时，其解的质量与以往的凸松弛方法相当，但计算速度显著提升，尤其在 n 较大时表现更优。

ABSTRACT

The Birkhoff polytope (the convex hull of the set of permutation matrices) is frequently invoked in formulating relaxations of optimization problems over permutations. The Birkhoff polytope is represented using Θ(n2) variables and constraints, significantly more than the n variables one could use to represent a permutation as a vector. Using a recent construction of Goemans [1], we show that when optimizing over the convex hull of the permutation vectors (the permutahedron), we can reduce the number of variables and constraints to Θ(n logn) in theory and Θ(n log2 n) in practice. We modify the recent convex formulation of the 2-SUM problem introduced by Fogel et al. [2] to use this polytope, and demonstrate how we can attain results of similar quality in significantly less computational time for large n. To our knowledge, this is the first usage of Goemans ’ compact formulation of the permutahedron in a convex optimization problem. We also introduce a simpler regularization scheme for this convex formulation of the 2-SUM problem that yields good empirical results. 1

研究动机与目标

• 为解决基于排列的优化中 Birkhoff 多面体松弛方法计算成本过高的问题，该方法在 n 增大时因 Θ(n²) 的变量和约束而扩展性差。
• 将戈麦斯（Goemans）对单纯形多面体（表示排列向量凸包）的紧凑公式应用于凸优化问题，以减小问题规模。
• 通过使用紧凑单纯形多面体松弛重新表述 2-SUM 问题，提升求解计算效率，同时保持解的质量。
• 为凸 2-SUM 公式引入一种简化的正则化方案，以增强实际性能。
• 首次在凸优化背景下展示戈麦斯（Goemans）紧凑单纯形多面体公式的实际应用。

提出的方法

• 利用戈麦斯（Goemans）的最新构造，使用 O(n log n) 个变量和约束来表示单纯形多面体，替代 Birkhoff 多面体所需的 Θ(n²) 个变量和约束。
• 使用紧凑单纯形多面体作为排列向量空间的凸松弛，重新表述 2-SUM 问题。
• 将简化的正则化方案整合到凸 2-SUM 公式中，以提升实际收敛性和解的质量。
• 在现有的 2-SUM 凸优化框架中，用紧凑单纯形多面体公式替代传统的基于 Birkhoff 的松弛。
• 利用变量和约束数量的减少，加速计算，尤其在大规模实例（n 较大）中表现更优。
• 通过与基于 Birkhoff 多面体的先前凸松弛方法对比，验证该方法在解质量和运行时间上的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 戈麦斯（Goemans）的紧凑单纯形多面体公式能否有效应用于涉及排列的凸优化问题？
• RQ2 紧凑单纯形多面体松弛是否在降低计算复杂度的同时，仍能保持与 Birkhoff 多面体相近的解质量？
• RQ3 单纯形多面体公式中变量和约束数量的减少，是否能显著提升大规模 2-SUM 问题的求解速度？
• RQ4 所提出的正则化方案在提升凸 2-SUM 公式实际性能方面的有效性如何？
• RQ5 紧凑单纯形多面体是否在实际基于排列的优化中，成为 Birkhoff 多面体的可行且高效的替代方案？

主要发现

• 紧凑单纯形多面体公式将变量和约束数量从理论上的 Θ(n²) 降低至 Θ(n log n)，实践中则为 Θ(n log² n)。
• 所提出的 2-SUM 问题重表述方法，其解的质量与以往基于 Birkhoff 的凸松弛方法相当。
• 对于较大的 n，计算时间显著减少，证明了该紧凑公式的可扩展性。
• 简化的正则化方案在不增加计算开销的前提下，提升了实际性能。
• 本工作首次在凸优化背景下实现戈麦斯（Goemans）紧凑单纯形多面体公式的实际应用。
• 结果证实，单纯形多面体可作为大规模排列问题中 Birkhoff 多面体的实用且高效的替代方案。