[论文解读] Beyond Wigner: Non-Invertible Symmetries Preserve Probabilities

Thomas Bartsch, Yuhan Gai+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2026

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一句话总结

论文表明非可逆融合范畴对称性通过使用 twisted sectors 作为迹保持的量子通道来作用，在对对称范畴施加单一性时解决了与维格纳定理的张力。

ABSTRACT

In recent years, the traditional notion of symmetry in quantum theory was expanded to so-called generalised or categorical symmetries, which, unlike ordinary group symmetries, may be non-invertible. This appears to be at odds with Wigner's theorem, which requires quantum symmetries to be implemented by (anti)unitary -- and hence invertible -- operators in order to preserve probabilities. We resolve this puzzle for (higher) fusion category symmetries $\mathcal{C}$ by proposing that, instead of acting by unitary operators on a fixed Hilbert space, symmetry defects in $\mathcal{C}$ act as isometries between distinct Hilbert spaces constructed from twisted sectors. As a result, we find that non-invertible symmetries naturally act as trace-preserving quantum channels. Crucially, our construction relies on the symmetry category $\mathcal{C}$ being unitary. We illustrate our proposal through several examples that include Tambara-Yamagami, Fibonacci, and Yang-Lee as well as higher categorical symmetries.

研究动机与目标

• 解释非可逆（更高阶）融合范畴对称性如何保持量子概率。
• 构建一个框架，使对称性缺陷在 twisted-sector 的希尔bert 空间之间充当等距映射。
• 为具体例子演示该构造，并证明单位ary 对称范畴的必要性。

提出的方法

• 为每个在对称范畴 C 中的 X 引入 twisted-sector 希尔伯特空间 HX。
• 定义在 C A(X, Y) 中介导 twisted-sector 间缺陷作用的转变通道 φ。
• 构造线性映射 UA YXφ，捕捉缠绕作用并证明它们满足一个与融合兼容的表示（管筒代数 tube algebra）。
• 在一个合适的转变通道基底下，A 在 X- twisted 状态上的作用是一个进入放大空间 HA X 的等距。
• 通过 Stinespring 表示建立所诱导的量子操作为迹保持的 Kraus 完整通道。

实验结果

研究问题

• RQ1 非可逆融合范畴对称性在不违反概率保持的情况下如何作用？
• RQ2 在何种条件下，对称性缺陷的作用能在 twisted sectors 间保持内积？
• RQ3 编码广义电荷及其等距作用的显式结构（tube algebra）是什么？
• RQ4 具体例子（Ising、Tambara-Yamagami、Fibonacci、Yang-Lee、Rep(S3)）是否实现 CPP 变换？
• RQ5 对称范畴的单位性如何确保跨维度的概率保持？

主要发现

• 单位融合范畴中的对称缺陷作为不同 twisted-sector 希尔伯特空间之间的等距。
• 存在每个简单出射扇区的转变通道基，当在扇区和通道上求和时，缺陷作用是一个等距。
• 由此产生的作用通过 Kraus 算符在密度矩阵上定义为迹保持的量子通道，确保概率守恒。
• 具体实例（Rep(S3)、Fibonacci、Tambara-Yamagami、Yang-Lee）说明了构造及其对单位性的依赖。
• 非单位情况（Yang-Lee）未满足 CPP，凸显单位结构对概率保持的必要性。