[论文解读] Bezier curves and surfaces based on modified Bernstein polynomials

Khalid Khan, D. K. Lobiyal+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 13被引用 15

一句话总结

本文提出了一类使用带移位节点的修改型伯恩斯坦基函数的新型贝齐尔曲线与曲面，可在扩展的参数区间上实现形状保持逼近。该方法通过引入形状参数 α 和 β，推广了经典贝齐尔曲线，并建立了德卡斯特利奥算法、次数提升与次数降低技术，当 α = β = 0 时可恢复经典贝齐尔曲线。

ABSTRACT

In this paper, we use the blending functions of Bernstein polynomials with shifted knots for construction of Bezier curves and surfaces. We study the nature of degree elevation and degree reduction for Bezier Bernstein functions with shifted knots. Parametric curves are represented using these modified Bernstein basis and the concept of total positivity is applied to investigate the shape properties of the curve. We get Bezier curve defined on [0, 1] when we set the parameter α=βto the value 0. We also present a de Casteljau algorithm to compute Bernstein Bezier curves and surfaces with shifted knots. The new curves have some properties similar to Bezier curves. Furthermore, some fundamental properties for Bernstein Bezier curves and surfaces are discussed.

研究动机与目标

• 开发一种基于带移位节点的伯恩斯坦基函数的广义贝齐尔曲线与曲面模型，以实现更优的形状控制。
• 研究这些修改型基函数在非标准区间上的次数提升与次数降低性质。
• 将德卡斯特利奥算法推广至使用带移位节点的基函数计算贝齐尔曲线与曲面的点。
• 分析几何与形状保持性质，如凸包、角点插值及等参曲线行为。
• 证明当 α = β = 0 时，经典贝齐尔曲线与曲面可被恢复。

提出的方法

• 定义修改型伯恩斯坦基函数为 $ G_{n,\alpha,\beta}^{k}(t) = \binom{n}{k} \left(\frac{n+\beta}{n}\right)^n \left(t - \frac{\alpha}{n+\beta}\right)^k \left(\frac{n+\alpha}{n+\beta} - t\right)^{n-k} $，定义域为 $ t \in \left[\frac{\alpha}{n+\beta}, \frac{n+\alpha}{n+\beta}\right] $。
• 将德卡斯特利奥算法扩展，通过递归混合控制点与修改型基函数，计算贝齐尔曲线与曲面上的点。
• 通过涉及参数 $ \alpha_i = 1 - \frac{m+1-i}{m+1} $ 与 $ \beta_j = 1 - \frac{n+1-j}{n+1} $ 的加权组合，推导出新的控制点 $ \mathbf{P}_{i,j}^{\ast} $，实现次数提升。
• 利用一元修改型基函数的乘积构造张量积贝齐尔曲面，保持凸包与角点插值等性质。
• 通过分析修改型基函数的结构及其非负性与单位分解性质，研究其完全正性与形状保持性质。
• 该方法通过 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 实现参数域的平移，推广经典贝齐尔曲线，当 $ \alpha = \beta = 0 $ 时可恢复经典情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过带移位节点修改伯恩斯坦基函数，以将贝齐尔曲线的定义域扩展至 [0,1] 之外？
• RQ2 基于带移位节点的修改型伯恩斯坦多项式的贝齐尔曲线，其次数提升与次数降低性质为何？
• RQ3 能否将德卡斯特利奥算法推广至使用这些修改型基函数计算贝齐尔曲线与曲面上的点？
• RQ4 在新贝齐尔模型中，哪些几何与形状保持性质被保留或修改？
• RQ5 参数 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 如何影响生成曲线与曲面的形状与行为？

主要发现

• 修改型伯恩斯坦基函数 $ G_{n,\alpha,\beta}^{k}(t) $ 在区间 $ \left[\frac{\alpha}{n+\beta}, \frac{n+\alpha}{n+\beta}\right] $ 上非负，并满足单位分解性质。
• 基函数表现出端点插值特性，确保当 $ t = \frac{\alpha}{n+\beta} $ 与 $ t = \frac{n+\alpha}{n+\beta} $ 时，曲线分别通过首尾控制点。
• 由 $ \mathbf{P}(u,v) = \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} \mathbf{P}_{i,j} G_{m,\alpha,\beta}^{i}(u) G_{n,\alpha,\beta}^{j}(v) $ 定义的张量积贝齐尔曲面满足凸包性质与角点插值。
• 该曲面的等参曲线本身也是具有移位节点的贝齐尔曲线，证实了该模型的层次结构。
• 当 $ \alpha = \beta = 0 $ 时，修改型基函数退化为经典伯恩斯坦多项式，模型恢复标准贝齐尔曲线与曲面。
• 推导出一种新的德卡斯特利奥算法，用于通过递归混合修改型基函数，评估具有移位节点的贝齐尔曲面上的点。