[论文解读] ${\bf C}^*$-extensions of tori, higher Chow groups and applications to incidence equivalence relations for algebraic cycles.

Stefan Müller–Stach|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 4

一句话总结

该论文建立了环面的C*-扩张与更高Chow群之间的联系，证明在特征零下，Bloch关于同调平凡循环的Chow群的G_m-双扩张同构于中间雅可比簇上Poincaré双扩张的拉回。该结果证实了格里菲斯对余维数为二的循环的猜想，表明代数等价和关联等价于零的循环具有挠的阿贝尔-雅可比不变量。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective variety of dimension n. If $p+q=n+1$ then Bloch has defined a ${\bf G}_m$-biextension E over the product of the Chow groups $CH^p_0(X)$ and $CH^q_0(X)$ of homologically trivial cycles. We prove that E is the pullback of the Poincare biextension over the product of intermediate Jacobians in characteristic zero. This is used to study various equivalence relations for algebraic cycles. In particular we reprove Murres result that Griffiths conjecture holds for codimension two cycles, i.e. every codim. two cycle algebraically and incidence equivalent to zero has torsion Abel-Jacobi invariant.

研究动机与目标

• 理解光滑射影代数簇上同调平凡循环的Chow群上Bloch的G_m-双扩张的结构。
• 在特征零下，通过双扩张研究代数循环与中间雅可比簇之间的关系。
• 在关联等价下重新证明穆尔蒂关于余维数为二循环的阿贝尔-雅可比不变量的挠性的结果。
• 阐明在代数循环与更高Chow群的背景下，环面的C*-扩张的几何与上同调意义。

提出的方法

• 利用光滑射影代数簇X的维数为n时，其Chow群CH^p_0(X)与CH^q_0(X)上的G_m-双扩张理论。
• 将中间雅可比簇的乘积上的Poincaré双扩张与Bloch的G_m-双扩张进行比较。
• 在特征零的假设下，确保Hodge理论与上同调工具的有效性。
• 依赖于Poincaré双扩张的拉回与Bloch的G_m-双扩张之间的同构关系，以确立主要结果。
• 使用更高Chow群来参数化模同调等价的代数循环。
• 应用代数K-理论与motivic上同调的结果，分析关联等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征零下，Bloch关于同调平凡循环的Chow群的G_m-双扩张是否同构于中间雅可比簇上Poincaré双扩张的拉回？
• RQ2 环面的C*-扩张如何与更高Chow群及代数循环相关联？
• RQ3 关联等价在确定余维数为二循环的阿贝尔-雅可比不变量的挠性中起什么作用？
• RQ4 双扩张的结构能否用于重新证明关于余维数为二循环的格里菲斯猜想的穆尔蒂结果？
• RQ5 从中间雅可比簇与代数循环的角度，G_m-双扩张的几何解释是什么？

主要发现

• 在特征零下，当p+q = n+1时，CH^p_0(X) × CH^q_0(X)上的G_m-双扩张同构于中间雅可比簇乘积上的Poincaré双扩张的拉回。
• 该同构通过Poincaré构造为Bloch的G_m-双扩张提供了Hodge理论实现。
• 该结果证实了每一个余维数为二且代数等价与关联等价于零的循环均具有挠的阿贝尔-雅可比不变量，从而重新证明了穆尔蒂定理。
• 通过双扩张结构，建立了环面的C*-扩张与更高Chow群之间的联系。
• 在特征零假设下，论文表明关联等价意味着余维数为二循环的阿贝尔-雅可比不变量为挠。
• 通过中间雅可比簇与双扩张的使用，为研究代数循环上的等价关系提供了上同调框架。