[论文解读] Bi-algebras, generalised geometry and T-duality

R. A. Reid-Edwards|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 54被引用 7

一句话总结

本文通过研究具有相容泊松结构的李群上的sigma模型，建立了广义几何与双重几何之间的桥梁，利用$O(D,D;\mathbb{Z})$在广义切丛$TG \oplus T^*G$上的作用。它表明，Courant括号的推广与$O(D,D)$对称性为T对偶性提供了一个统一的框架，即使在非等距背景中也成立，并通过双重极化展示了哈密顿形式与拉格朗日形式之间的等价性，为将T对偶性推广至已知的阿贝尔和泊松-李情形之外提供了路径。

ABSTRACT

A study of sigma models whose target space is a group G that admits a compatible Poisson structure is presented. The natural action of O(D,D;Z) on the generalised tangent bundle TG+T*G and a generalisation of the Courant bracket that appears are reviewed. This background provides a concrete example where the generalised geometry and doubled geometry descriptions are both well understood. Connections between the two formalisms are discussed and the world-sheet theory from Hamiltonian and Lagrangian perspectives is investigated. The comparisons between the approaches given by generalised geometry and doubled geometry suggest possible ways of generalising the analysis beyond the known examples.

研究动机与目标

• 在非阿贝尔和非等距背景的T对偶性背景下，统一广义几何与双重几何的形式化方法。
• 研究Courant括号推广与$O(D,D;\mathbb{Z})$对称性在具有泊松结构的李群上sigma模型中的作用。
• 通过双重极化阐明规范世界面理论的哈密顿形式与拉格朗日形式之间的等价性。
• 通过分析泊松-李对偶性构造在何种条件下产生物理上等价的量子sigma模型，将T对偶性推广至阿贝尔等距之外。

提出的方法

• 本文使用Drinfel'd双代数构造方法定义一个$2D$维李代数，其生成元为$T_m$和$\widetilde{T}^m$，满足涉及结构常数$f_{mn}^p$和$c_m^{np}$的特定交换关系。
• 它在广义切丛$TG \oplus T^*G$上引入了广义度规$\mathcal{M}_{MN}$和广义标架$\mathscr{P}^M$，这些对象在$O(D,D)$对称性下变换。
• 世界面作用量以规范sigma模型的形式表述，使用连接$A^m$和拉格朗日乘子$\tilde{x}_m$，通过$\widehat{\mathcal{P}} = h^{-1}(\text{d} + C)h$实现最小耦合，其中不同的极化选择对应于$h = \tilde{g}g$或$h = g\tilde{g}$。
• 在两种对偶极化下推导作用量：一种规范左作用（$\delta g = 0$），另一种规范右作用（$\delta \tilde{g} = 0$），从而得到等价的作用量形式。
• 通过对$\widehat{\ell}_m$配方完成平方，恢复标准sigma模型作用量，表明规范与非规范形式之间的一致性。
• 它表明，通过积分掉$A^m$得到的对偶形式，即使在不存在等距性时，也能通过$O(D,D;\mathbb{Z})$变换重现原理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非阿贝尔和非等距背景的T对偶性背景下，如何调和广义几何与双重几何的形式化方法？
• RQ2 Courant括号的推广在泊松-李群上$O(D,D)$协变sigma模型表述中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，泊松-李对偶性构造会产生物理上等价的量子sigma模型，而非仅仅在不等价理论之间建立映射？
• RQ4 在双重极化背景下，规范世界面理论的哈密顿形式与拉格朗日形式之间有何关系？
• RQ5 能否通过Drinfel'd双代数结构将$O(D,D;\mathbb{Z})$对称性扩展至非等距背景？

主要发现

• 在具有相容泊松结构的李群上sigma模型的背景下，广义几何与双重几何方法被证明是等价的，两种形式化方法描述的是同一物理理论。
• Courant括号被推广以适应Drinfel'd双代数的非阿贝尔结构，且该推广在$O(D,D)$变换下保持闭合。
• 即使holonomy不为零，只要背景满足泊松-李条件，带有连接$A^m$和拉格朗日乘子$\tilde{x}_m$的规范世界面理论也与非规范理论等价。
• 对偶极化$h = g\tilde{g}$导致一个对偶作用量，其中$\ell_m$和$\tilde{r}^m$被视为动力学场，作用量形式为$S = \frac{1}{4}\oint \mathcal{M}^{MN}(\widetilde{\mathcal{E}})\widetilde{\mathscr{P}}_M \wedge *\widetilde{\mathscr{P}}_N + \frac{1}{2}\oint \ell_m \wedge \tilde{r}^m$，通过配方完成平方可恢复标准sigma模型。
• 该构造表明，$O(D,D;\mathbb{Z})$对称性在广义度规和标架上一致作用，保持了不同对偶形式之间理论的物理内容不变。
• 本文提供了一个框架，通过使用Drinfel'd双代数和泊松-李对偶性，将T对偶性推广至阿贝尔等距之外，暗示了通往非等距背景全量子对偶性的路径。