[论文解读] Bi-Boolean independence for pairs of algebras

Yinzheng Gu, Paul Skoufranis|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文引入了非单位代数对的双布尔独立性，将布尔独立性推广至双侧设定。通过双区间划分定义B-(ℓ,r)-累积量，并证明混合累积量消失可表征双布尔独立性，建立了双布尔Lévy-Hinčin公式，构造了加法卷积的偏η-变换，应用于无限可分性及Bercovici-Pata双射。

ABSTRACT

In this paper, the notion of bi-Boolean independence for non-unital pairs of algebras is introduced thereby extending the notion of Boolean independence to pairs of algebras. The notion of B-$(\ell, r)$-cumulants is defined via a bi-Boolean moment-cumulant formula over the lattice of bi-interval partitions, and it is demonstrated that bi-Boolean independence is equivalent to the vanishing of mixed B-$(\ell, r)$-cumulants. Furthermore, some of the simplest bi-Boolean convolutions are considered, and a bi-Boolean partial $η$-transform is constructed for the study of limit theorems and infinite divisibility with respect to the additive bi-Boolean convolution. In particular, a bi-Boolean Lévy-Hinčin formula is derived in perfect analogy with the bi-free case, and some Bercovici-Pata type bijections are provided. Additional topics considered include the additive bi-Fermi convolution, some relations between the $(\ell, r)$- and B-$(\ell, r)$-cumulants, and bi-Boolean independence in an amalgamated setting. The last section of this paper also includes an errata that will be published with this copy of the paper.

研究动机与目标

• 将布尔独立性推广至非单位代数对，引入双布尔独立性作为双侧推广。
• 通过双区间划分格定义B-(ℓ,r)-累积量，并确立其在表征独立性中的作用。
• 构建双布尔偏η-变换以线性化加法双布尔卷积，并研究极限定理。
• 推导双布尔Lévy-Hinčin公式，并建立无限可分性下的Bercovici-Pata型双射。
• 研究双布尔卷积无法保持概率测度的原因，纠正文献中早期的错误主张。

提出的方法

• 通过双区间划分格上的矩-累积公式定义双布尔独立性的概念。
• 引入B-(ℓ,r)-累积量作为关键累积量族，利用其消失性来表征独立性。
• 构建双布尔偏η-变换以线性化加法双布尔卷积，其满足与柯西变换相关的函数方程。
• 将该理论应用于推导二维设定下无限可分性的双布尔Lévy-Hinčin公式。
• 研究加法双费米卷积作为费米卷积的二维类比，其结构与双布尔卷积具有平行关系。
• 提供勘误，纠正文献中关于条件双自由卷积保持测度的早期错误主张。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换、双侧设定下将布尔独立性推广至非单位代数对？
• RQ2 表征双布尔独立性的适当累积量族（即B-(ℓ,r)-累积量）是什么？
• RQ3 能否构造一个偏η-变换以线性化加法双布尔卷积，其满足何种函数方程？
• RQ4 双布尔Lévy-Hinčin公式是否存在，其与二维情形下无限可分性的关系如何？
• RQ5 为何双布尔卷积与条件双自由卷积无法保持概率测度，其对早期结果有何影响？

主要发现

• 双布尔独立性完全由混合B-(ℓ,r)-累积量消失所表征，建立了双区间划分上的组合矩-累积量对偶性。
• 构造了线性化加法双布尔卷积的双布尔偏η-变换，其与柯西变换满足一个函数方程。
• 推导出双布尔Lévy-Hinčin公式，其与双自由情形类似，可表征无限可分分布。
• 由复合双布尔泊松分布导出的4×4矩矩阵的行列式为−864，证明其并非有效概率测度的矩矩阵。
• 状态的双布尔积与概率测度的卷积不保持正定性，从而否定了文献中关于条件双自由卷积保持测度的早期主张。
• 由于矩矩阵非半正定，本文第5、6节的结果被更正为仅适用于任意分布，而非概率测度。