[论文解读] Bi-capacities -- Part I: definition, Möbius transform and interaction

Michel Grabisch, Christophe Labreuche|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2007

Multi-Criteria Decision Making参考文献 20被引用 25

一句话总结

本文将双容量（bi-capacities）引入为模糊测度在双极决策情境中的推广，其中准则可具有正向、负向或中性评价。通过合作对策理论，建立了双容量的Möbius变换与交互指数，使人们能够分析累积前景理论与k-加性结构等模型中决策者的行为。

ABSTRACT

Bi-capacities arise as a natural generalization of capacities (or fuzzy measures) in a context of decision making where underlying scales are bipolar. They are able to capture a wide variety of decision behaviours, encompassing models such as Cumulative Prospect Theory (CPT). The aim of this paper in two parts is to present the machinery behind bi-capacities, and thus remains on a rather theoretical level, although some parts are firmly rooted in decision theory, notably cooperative game theory. The present first part is devoted to the introduction of bi-capacities and the structure on which they are defined. We define the Möbius transform of bi-capacities, by just applying the well known theory of M\" obius functions as established by Rota to the particular case of bi-capacities. Then, we introduce derivatives of bi-capacities, by analogy with what was done for pseudo-Boolean functions (another view of capacities and set functions), and this is the key point to introduce the Shapley value and the interaction index for bi-capacities. This is done in a cooperative game theoretic perspective. In summary, all familiar notions used for fuzzy measures are available in this more general framework.

研究动机与目标

• 将双容量形式化为在双极尺度下决策的容量推广，其中评价范围从负到正。
• 将模糊测度理论中的关键工具——Möbius变换与交互指数——扩展至双容量框架。
• 为分析累积前景理论范围之外的决策行为提供理论基础。
• 通过交互指数与Möbius变换，定义并表征k-加性与CPT型双容量。
• 在合作对策理论框架下，通过类似Shapley值与交互指数，实现对决策者偏好的解释。

提出的方法

• 将双容量定义为集合函数 v: 2^N × 2^N → [-1,1]，为表示完全满足与完全不满足的准则对 (S,T) 赋予权重。
• 应用Rota的Möbius反演，推导双容量的Möbius变换 m(S,T)，实现其向基本分量的分解。
• 通过Möbius变换的线性变换引入交互指数 I^v(S,T)，将Shapley值推广至双容量。
• 利用交互指数分析联盟 (S,T) 对整体决策结果的贡献，给出包含二项式系数的闭式表达式。
• 通过Möbius变换与交互指数的条件，表征双容量的特殊类别——k-加性与CPT型。
• 建立双容量与经典容量之间的正式类比，表明在特定结构假设下，双容量的交互指数会退化为经典交互指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将模糊测度推广以建模在双极尺度下的决策，其中准则可被正向、负向或中性评价？
• RQ2 双容量的适当Möbius变换是什么？它如何推广经典容量的Möbius变换？
• RQ3 如何将Shapley值与交互指数扩展至双容量，以解释准则联盟的贡献？
• RQ4 k-加性与CPT型双容量在Möbius变换与交互指数方面的结构特性是什么？
• RQ5 双容量交互指数如何推广经典容量的交互指数？

主要发现

• 双容量的Möbius变换通过Rota理论定义，其闭式表达式包含二项式系数与集合包含约束。
• 交互指数 I^v(S,T) 作为Möbius变换的线性变换推导得出，其公式涉及对 (S,T) 的超集与子集的求和。
• 对于k-加性双容量，当 |T| < n−k 时，交互指数 I^v(S,T) 为零；当 |T| = n−k 时，其值等于Möbius值 m(S,T)。
• 对于CPT型双容量，交互指数 I^v(S,T) 仅在 S=∅ 或 T=∅ 时非零，反映出正负部分之间的独立性。
• 当 v(S,T) = ν₁(S) − ν₂(T) 时，交互指数 I^v(S,∅) 等于经典交互指数 I^{ν₁}(S)，而 I^v(∅,T) 等于 I^{ar{ν}_2}(T)，将双容量与经典模糊测度联系起来。
• 对于具有基础容量 ν 的对称双容量，交互指数满足 I^v(S,∅) = I^ν(S) 且 I^v(∅,T) = (−1)^{t+1} I^ν(T)，表明负部分的符号反转。