[论文解读] BI-GreenNet: Learning Green's functions by boundary integral network

Guochang Lin, Fukai Chen+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 4

一句话总结

本文提出 BI-GreenNet，一种利用边界积分公式和基本解的神经网络方法，用于在有界、无界及界面区域中学习泊松方程与赫尔姆霍兹方程的格林函数。通过将问题重新表述为仅依赖边界的平滑拟合任务，BI-GreenNet 实现了高精度的格林函数近似，并可推广至求解多种偏微分方程，相对 $ L^2 $ 误差低于 4%。

ABSTRACT

Green's function plays a significant role in both theoretical analysis and numerical computing of partial differential equations (PDEs). However, in most cases, Green's function is difficult to compute. The troubles arise in the following three folds. Firstly, compared with the original PDE, the dimension of Green's function is doubled, making it impossible to be handled by traditional mesh-based methods. Secondly, Green's function usually contains singularities which increase the difficulty to get a good approximation. Lastly, the computational domain may be very complex or even unbounded. To override these problems, we leverage the fundamental solution, boundary integral method and neural networks to develop a new method for computing Green's function with high accuracy in this paper. We focus on Green's function of Poisson and Helmholtz equations in bounded domains, unbounded domains. We also consider Poisson equation and Helmholtz domains with interfaces. Extensive numerical experiments illustrate the efficiency and the accuracy of our method for solving Green's function. In addition, we also use the Green's function calculated by our method to solve a class of PDE, and also obtain high-precision solutions, which shows the good generalization ability of our method on solving PDEs.

研究动机与目标

• 解决在传统方法因高维性和奇异性而失效的复杂或无界区域中计算偏微分方程格林函数的挑战。
• 克服基于网格的方法和标准神经网络在处理格林函数的维度加倍和非光滑性方面的局限性。
• 开发一种可微分框架，利用基本解和边界积分表示，实现对格林函数的精确且可泛化的学习。
• 通过使用学习到的格林函数求解具有新源项和边界条件的新偏微分方程，证明该方法在高精度下具备泛化能力。

提出的方法

• 利用基本解将格林函数问题重新表述为边界积分方程，消除奇异性，并将偏微分方程问题转化为平滑的高维函数逼近任务。
• 提出 BI-GreenNet，一种参数化格林函数为边界积分形式的神经网络架构，确保偏微分方程自动满足，仅需训练边界条件。
• 使用神经网络近似边界积分表示中的未知边界密度函数，损失函数基于边界条件和残差最小化。
• 结合自动微分与物理信息训练，利用偏微分方程残差和边界约束联合优化网络权重。
• 将 BI-GreenNet 与 DB-GreenNet（直接逼近方法）进行比较，验证边界积分公式在准确性和可扩展性方面的优越性。
• 利用学习到的格林函数通过类似卷积的积分操作求解新偏微分方程，展示其在源项和边界条件变化下的泛化能力。

(a) Single domain

实验结果

研究问题

• RQ1 神经网络能否在复杂区域（包括无界和界面区域）中有效学习泊松方程与赫尔姆霍兹方程的格林函数？
• RQ2 BI-GreenNet 中的边界积分公式是否在准确性和稳定性方面优于直接神经网络逼近方法（DB-GreenNet），特别是在奇异性或高维问题中？
• RQ3 学习到的格林函数在多大程度上可泛化以求解具有不同源项和边界条件的新偏微分方程？
• RQ4 基本解与边界积分表示的使用如何缓解格林函数计算中维度加倍和奇异性带来的挑战？
• RQ5 该方法是否能在传统基于网格的方法不可行的无界区域中保持高精度？

主要发现

• BI-GreenNet 在有界、无界及界面区域中均实现了对泊松方程与赫尔姆霍兹方程格林函数的高精度学习，优于直接逼近方法 DB-GreenNet。
• 通过将格林函数重新表述为边界积分形式，该方法成功处理了奇异性与高维问题，实现了稳定且精确的训练。
• 在无界区域中，BI-GreenNet 的性能显著优于 DB-GreenNet，展现出对区域复杂性的强鲁棒性。
• 学习到的格林函数在泛化方面表现优异：当应用于 100 个随机生成的界面问题时，所有相对 $ L^2 $ 误差均低于 4%。
• 该方法可通过学习到的格林函数进行边界积分求值，实现偏微分方程的高精度求解，证实了其实际应用价值与泛化能力。
• 该框架在具有复杂几何形状和不连续系数的问题中同样有效，这一点通过不同材料参数的界面问题验证。

(b) Interface problem